Mostre que o produto de duas matrizes triangulares superiores é sempre uma matriz triangular superior:
A B=[ccc * & * & * 0 & * & * 0 & 0 & * ][lll * & * & * 0 & * & * 0 & 0 & * ]=[ccc * & * & * 0 & * & * 0 & 0 & * ]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas matrizes A e B triangulares superiores de ordem 3, o produto C = AB também é triangular superior. Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes, em que o elemento cij de C é dado por
cij=sumk=1^3aik,bkj

Passo 2

Como A e B são triangulares superiores, seus elementos abaixo da diagonal principal são nulos:
A= a11&a12&a13 0&a22&a23 0&0&a33 , B= b11&b12&b13 0&b22&b23 0&0&b33
Logo em A vale a21=a31=a32=0 e em B vale b21=b31=b32=0.

Passo 3

Vamos calcular os coeficientes de C=AB abaixo da diagonal principal, ou seja, c21, c31 e c32:
c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 = 0cdot b11 + a22cdot 0 + a23cdot 0 = 0,
c31 = a31b11 + a32b21 + a33b31 = 0cdot b11 + 0cdot 0 + a33cdot 0 = 0,
c32 = a31b12 + a32b22 + a33b32 = 0cdot b12 + 0cdot b22 + a33cdot 0 = 0

Passo 4

Como todos os elementos abaixo da diagonal principal de C são zero, concluímos que
C = AB = * & * & * 0 & * & * 0 & 0 & *
é uma matriz triangular superior.

Resposta

O produto de duas matrizes triangulares superiores é sempre uma matriz triangular superior.

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