Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(2 x, x-y, y).

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (2x,;x-y,;y)
e pede para verificar se T é transformação linear, ou seja, se satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(c,u)=c,T(u)
para todos u,vinR^2 e todo escalar cinR.

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2)
e
T(u+v) = l(2(x1+x2),;(x1+x2)-(y1+y2),;y1+y2r)
;=l(2x1+2x2,;x1-y1 + x2-y2,;y1+y2r)
Por outro lado,
T(u)+T(v) =(2x1,;x1-y1,;y1)+(2x2,;x2-y2,;y2)
;=l(2x1+2x2,;x1-y1 + x2-y2,;y1+y2r),
logo T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja cinR e u=(x,y). Então
c,u=(c x,;c y) Longrightarrow T(cu)=T(c x,c y)=(2c x,;c x - c y,;c y)
;=c,(2x,;x-y,;y)=c,T(x,y)=c,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que é de fato uma transformação linear.

Resposta

A aplicação T(x,y)=(2x,;x-y,;y) é uma transformação linear.

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