Calcule, tanto pelo método da triangulação quanto pelo desenvolvimento pela 2^a linha, o determinante da matriz abaixo:
[cccc -2 & 3 & 1 & -1 0 & 1 & 2 & 3 1 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 5 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = -2 & 3 & 1 & -1 [6pt] 0 & 1 & 2 & 3 [6pt] 1 & -1 & 1 & -2 [6pt] 4 & -3 & 5 & 1
usando dois métodos: (i) redução por triangulação (eliminação Gaussiana sem trocar linhas) e (ii) desenvolvimento pela 2ª linha. O conteúdo principal é determinante e operações elementares de linha.]

Passo 2

Usando eliminação para obter uma matriz triangular superior sem alterar o determinante (só somamos múltiplos de uma linha em outra):
Aplicamos
R3 R3 + 12,R1, R4 R4 + 2,R1
que leva a
-2 & 3 & 1 & -1 [4pt] 0 & 1 & 2 & 3 [4pt] 0 & tfrac12 & tfrac32 & -tfrac52 [4pt] 0 & 3 & 7 & -1
Depois, zeramos abaixo de a22=1 por
R3 R3 - tfrac12,R2, R4 R4 - 3,R2
obtendo
-2 & 3 & 1 & -1 [4pt] 0 & 1 & 2 & 3 [4pt] 0 & 0 & tfrac12 & -4 [4pt] 0 & 0 & 1 & -10
Finalmente, com
R4 R4 - 2,R3
chegamos a
-2 & 3 & 1 & -1 [4pt] 0 & 1 & 2 & 3 [4pt] 0 & 0 & tfrac12 & -4 [4pt] 0 & 0 & 0 & -2
Como não houve permuta de linhas,
det A = (-2)cdot1cdottfrac12cdot(-2) = 2 ]

Passo 3

Agora usamos o desenvolvimento pela 2ª linha. A fórmula é
det A = sumj=1^4(-1)^2+j,a2j,M2j
Para j=1 o termo é zero porque a21=0.
Para j=2: o sinal é (-1)^4=1 e a22=1. O menor M22 é o determinante da submatriz
-2 & 1 & -1 [4pt] 1 & 1 & -2 [4pt] 4 & 5 & 1
Calculando
M22 = (-2)l(1cdot1 -(-2)cdot5r) - 1l(1cdot1 -(-2)cdot4r) + (-1)l(1cdot5 - 1cdot4r) = -32,
então o termo é 1cdot(-32)=-32.
Para j=3: o sinal é (-1)^5=-1 e a23=2. O menor M23 vem de
-2 & 3 & -1 [4pt] 1 & -1 & -2 [4pt] 4 & -3 & 1 ,
once
M23 = (-2)l((-1)cdot1 -(-2)cdot(-3)r) -3l(1cdot1 -(-2)cdot4r) +(-1)l(1cdot(-3) -(-1)cdot4r) = -14
O termo é -1cdot2cdot(-14)=28.
Para j=4: o sinal é (-1)^6=1 e a24=3. O menor M24 vem de
-2 & 3 & 1 [4pt] 1 & -1 & 1 [4pt] 4 & -3 & 5 ,
once
M24 = (-2)l((-1)cdot5 -1cdot(-3)r) -3l(1cdot5 -1cdot4r) +1l(1cdot(-3) -(-1)cdot4r) = 2
O termo é 1cdot3cdot2=6.
Somando os termos não nulos:
det A = -32 + 28 + 6 = 2 ]

Resposta

2

Exercícios relacionados