Determine todas as matrizes que comutam com a matriz [ll1 & 2 4 & 5].

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes Xin M2(R) tais que
AX = XA,
onde
A = 1 & 2 4 & 5
O conteúdo aqui é resolver um sistema linear para os coeficientes de X, ou então usar a teoria de que, se A tem autovalores distintos, seu centralizador são todos os polinômios em A.

Passo 2

Escrevemos
X = x & y z & w
e calculamos
AX = 1cdot x + 2cdot z & 1cdot y + 2cdot w [6pt] 4cdot x + 5cdot z & 4cdot y + 5cdot w, XA = xcdot1 + ycdot4 & xcdot2 + ycdot5 [6pt] zcdot1 + wcdot4 & zcdot2 + wcdot5 ]

Passo 3

Igualando AX = XA elemento a elemento obtemos o sistema
x + 2z = x + 4y, y + 2w = 2x + 5y, 4x + 5z = z + 4w, 4y + 5w = 2z + 5w

Passo 4

Das equações acima vêm
x + 2z = x + 4y implies z = 2y,
4y + 5w = 2z + 5w implies 4y = 2z implies z = 2y
(repetida) e
y + 2w = 2x + 5y implies w = x + 2y,
4x + 5z = z + 4w implies 4x + 4z = 4w implies w = x + z = x + 2y
(coerente). Logo os graus de liberdade são x e y, e
X = x & y 2y & x + 2y

Passo 5

Repare que podemos escrever
X = x 1 & 0 0 & 1 + y 0 & 1 2 & 2
Mas observe que
A = 1 & 2 4 & 5 = 1cdot I + 20 & 1 2 & 2,
ou seja 0&12&2=tfrac12(A-I). Portanto
X = alpha I + beta A,
com alpha,betainR.

Resposta

Todas as matrizes que comutam com A são
X = x & y 2y & x+2y (x,yinR),
equivalente a
X = alpha I + beta A,
com alpha,betainR.

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