Determine todas as matrizes que comutam com a matriz .
Passo 1
O enunciado pede todas as matrizes Xin M2(R) tais que
AX = XA,
onde
A = 1 & 2 4 & 5
O conteúdo aqui é resolver um sistema linear para os coeficientes de X, ou então usar a teoria de que, se A tem autovalores distintos, seu centralizador são todos os polinômios em A.
Passo 2
Escrevemos
X = x & y z & w
e calculamos
AX = 1cdot x + 2cdot z & 1cdot y + 2cdot w [6pt] 4cdot x + 5cdot z & 4cdot y + 5cdot w, XA = xcdot1 + ycdot4 & xcdot2 + ycdot5 [6pt] zcdot1 + wcdot4 & zcdot2 + wcdot5 ]
Passo 3
Igualando AX = XA elemento a elemento obtemos o sistema
x + 2z = x + 4y, y + 2w = 2x + 5y, 4x + 5z = z + 4w, 4y + 5w = 2z + 5w
Passo 4
Das equações acima vêm
x + 2z = x + 4y implies z = 2y,
4y + 5w = 2z + 5w implies 4y = 2z implies z = 2y
(repetida) e
y + 2w = 2x + 5y implies w = x + 2y,
4x + 5z = z + 4w implies 4x + 4z = 4w implies w = x + z = x + 2y
(coerente). Logo os graus de liberdade são x e y, e