Um modelo de escala 1:25 de um vertedouro é testado. Dado: \mathrm{Fr}_{\mathrm{p}}=\mathrm{Fr}_{\mathrm{m}} para que haja semelhança dinâmica
(a) Se a vazão no modelo é de 5,67 \mathrm{l} / \mathrm{s}, qual a vazão correspondente no protótipo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte.
Dados fornecidos:
  • Escala do modelo para o protótipo: 1:25 (ou seja, uma dimensão linear do protótipo é 25 vezes a do modelo).
  • Condição de semelhança dinâmica: \mathrm{Fr}_{\mathrm{p}}=\mathrm{Fr}_{\mathrm{m}}.
  • Vazão no modelo: Q_{\mathrm{m}}=5,67\\ \mathrm{l}/\mathrm{s}.
O que é pedido:
  • Determinar a vazão correspondente no protótipo Q_{\mathrm{p}}.

Passo 2

Vamos entender a grandeza que aparece na semelhança: a razão de Froude. A definição prática que usamos aqui é
\mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{gL}},
onde:
  • \mathrm{Fr} é o número de Froude (adimensional);
  • V é uma velocidade característica (unidades de comprimento/tempo, por exemplo \mathrm{m}/\mathrm{s});
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2);
  • L é uma dimensão linear característica do problema (por exemplo profundidade, altura, comprimento) com unidades de comprimento.
A condição \mathrm{Fr}_{\mathrm{p}}=\mathrm{Fr}_{\mathrm{m}} significa que
\frac{V_{\mathrm{p}}}{\sqrt{gL_{\mathrm{p}}}}=\frac{V_{\mathrm{m}}}{\sqrt{gL_{\mathrm{m}}}}.
Cancelando g em ambos os lados obtemos a relação entre velocidades:
\frac{V_{\mathrm{p}}}{V_{\mathrm{m}}}=\sqrt{\frac{L_{\mathrm{p}}}{L_{\mathrm{m}}}}.

Passo 3

Definimos o fator de escala linear entre protótipo e modelo como
\lambda=\frac{L_{\mathrm{p}}}{L_{\mathrm{m}}}.
Pela escala dada 1:25 temos
\lambda=25.
Logo a razão de velocidades é
\frac{V_{\mathrm{p}}}{V_{\mathrm{m}}}=\sqrt{\lambda}=\sqrt{25}=5.

Passo 4

Agora relacionamos vazões. A vazão caracteriza-se por
Q = V\cdot A,
onde A é uma área característica que escala com o quadrado da dimensão linear, isto é
\frac{A_{\mathrm{p}}}{A_{\mathrm{m}}}=\left(\frac{L_{\mathrm{p}}}{L_{\mathrm{m}}}\right)^2=\lambda^2.
Portanto a razão das vazões é
\frac{Q_{\mathrm{p}}}{Q_{\mathrm{m}}}=\frac{V_{\mathrm{p}}}{V_{\mathrm{m}}}\cdot\frac{A_{\mathrm{p}}}{A_{\mathrm{m}}} =\sqrt{\lambda}\cdot\lambda^2=\lambda^{5/2}.

Passo 5

Calculamos \lambda^{5/2} com \lambda=25:
25^{5/2}=25^{2}\cdot 25^{1/2}=625\cdot 5=3125.

Passo 6

Convertemos a vazão do modelo para unidades SI e aplicamos o fator de escala. Dado
Q_{\mathrm{m}}=5,67\\ \mathrm{l}/\mathrm{s}=5,67\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Assim
Q_{\mathrm{p}}=Q_{\mathrm{m}}\cdot 3125 =5,67\times 10^{-3}\cdot 3125\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Para calcular manualmente: 3125\times 10^{-3}=3{,}125, então
Q_{\mathrm{p}}=5{,}67\times 3{,}125=17{,}71875\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Se preferir em litros por segundo, multiplica por 1000:
Q_{\mathrm{p}}=17\,718{,}75\\ \mathrm{l}/\mathrm{s}.

Resposta

\displaystyle Q_{\mathrm{p}}=17{,}71875\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
\displaystyle Q_{\mathrm{p}}=17\,718{,}75\\ \mathrm{l}/\mathrm{s}

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