Calcule a taxa de variação da função f(x, y) = 4xy^3 - 2xy no ponto (-2,5) na direção do vetor que faz um ângulo de 60 graus Celsius com o gradiente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a taxa de variação da função no ponto na direção de um vetor que forma um ângulo de com o gradiente da função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para :
Para :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

A derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
onde é o ângulo entre o gradiente e o vetor direção.
No nosso caso, e queremos .

Passo 5

Vamos calcular a magnitude do gradiente :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Sabemos que , então:

Resposta

A taxa de variação da função no ponto na direção desejada é aproximadamente .

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