Calcule a taxa de variação da função
no ponto
na direção do vetor que faz um ângulo de
com o gradiente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a taxa de variação da função
no ponto
na direção de um vetor que forma um ângulo de
com o gradiente da função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Para
:
Para
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada por:
onde
é o ângulo entre o gradiente e o vetor direção.
No nosso caso,
e queremos
.
Passo 5
Vamos calcular a magnitude do gradiente
:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Sabemos que
, então:
Resposta
A taxa de variação da função no ponto
na direção desejada é aproximadamente
.