Seja sumn=1^infty an uma série tal que a sequência das somas parciais é dada por sn=3 n-2n+1.
Determine a expressão do termo geral an.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma série infinita onde a soma das parciais é dada por . Nosso objetivo é encontrar a expressão do termo geral . Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries e somas parciais, explorando como os termos individuais se relacionam com as somas acumuladas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o termo geral an = sn - sn-1 de uma série pode ser encontrado subtraindo a soma parcial anterior da soma parcial atual. Matemáticamente, isso é expresso por:
Isso significa que para encontrar , precisamos calcular e .

Passo 3

Sabemos que sn-1 = 3(n - 1) - 2(n - 1) + 1 = 3n - 3 - 2n = 3n - 5n . Vamos calcular substituindo por na expressão:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula an = 3n - 2n + 1 - 3n - 5n :
an = (3n - 2) cdot n - (3n - 5)(n + 1)n(n + 1)
Vamos simplificar essa expressão encontrando um denominador comum, que é :

Passo 5

Expandindo os numeradores:
(3n - 2) cdot n = 3n^2 - 2n
(3n - 5)(n + 1) = 3n(n) + 3n(1) - 5(n) - 5(1) = 3n^2 + 3n - 5n - 5 = 3n^2 - 2n - 5
Substituindo de volta:
an = 3n^2 - 2n - (3n^2 - 2n - 5)n(n + 1) = 3n^2 - 2n - 3n^2 + 2n + 5n(n + 1) = 5n(n + 1)

Passo 6

Simplificando a fração, obtemos:
an = 5n(n + 1)
Podemos também escrever isso como uma fração parcial:
an = 5n - 5n + 1

Resposta

A expressão do termo geral é .

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