Seja
uma série tal que a sequência das somas parciais é dada por
.
Determine a expressão do termo geral
.
Determine a expressão do termo geral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma série infinita
onde a soma das parciais é dada por
. Nosso objetivo é encontrar a expressão do termo geral
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries e somas parciais, explorando como os termos individuais se relacionam com as somas acumuladas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o termo geral
de uma série pode ser encontrado subtraindo a soma parcial anterior da soma parcial atual. Matemáticamente, isso é expresso por:
Isso significa que para encontrar
, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Sabemos que
. Vamos calcular
substituindo
por
na expressão:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula
:
Vamos simplificar essa expressão encontrando um denominador comum, que é
:
Passo 5
Expandindo os numeradores:
Substituindo de volta:
Passo 6
Simplificando a fração, obtemos:
Podemos também escrever isso como uma fração parcial:
Resposta
A expressão do termo geral é
.