Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem que descobrir se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns critérios de teste de séries que vimos em sala, como o Teste do Termo Geral e o Teste de Comparação. Vamos passo a passo entender o que está rolando aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor o comportamento dele quando
fica bem grande. O termo geral é
. Vamos reescrever isso de uma forma mais fácil de analisar.
Passo 3
Observe que
pode ser simplificado para
. Quando
tende ao infinito,
fica muito pequeno, então a expressão dentro da raiz fica próxima de 1. Usando a expansão de Taylor para
quando
é pequeno, temos aproximadamente
. Portanto:
Então,
Passo 4
Agora, vamos substituir essa aproximação no termo geral da série:
Então, para grandes valores de
, o termo geral é aproximadamente
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a série
. Sabemos que a série
converge se
e diverge se
(Esse é o Teste da Série p). Aqui,
, então essa série é convergente.
Passo 6
Como o termo geral
se comporta como
para
grande, e a série comparativa
converge, podemos concluir, pelo Teste de Comparação, que a série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.