Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty raizn^3+1-n raizn

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem que descobrir se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns critérios de teste de séries que vimos em sala, como o Teste do Termo Geral e o Teste de Comparação. Vamos passo a passo entender o que está rolando aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor o comportamento dele quando fica bem grande. O termo geral é . Vamos reescrever isso de uma forma mais fácil de analisar.

Passo 3

Observe que raiz1 + 1n^3 approx 1 + 12n^3 pode ser simplificado para raizn^3+1 approx n^3/2 (1 + 12n^3) = n^3/2 + 12n^3/2 . Quando tende ao infinito, fica muito pequeno, então a expressão dentro da raiz fica próxima de 1. Usando a expansão de Taylor para quando é pequeno, temos aproximadamente . Portanto:
Então,

Passo 4

Agora, vamos substituir essa aproximação no termo geral da série:
raizn^3+1 - n raizn approx (n^3/2 + 12n^3/2) - n^3/2 = 12n^3/2
Então, para grandes valores de , o termo geral é aproximadamente .

Passo 5

Agora, vamos analisar a série . Sabemos que a série converge se e diverge se (Esse é o Teste da Série p). Aqui, , então essa série é convergente.

Passo 6

Como o termo geral se comporta como para grande, e a série comparativa converge, podemos concluir, pelo Teste de Comparação, que a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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