Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas e justifique sua escolha usando resultados vistos em aula ou um contraexemplo.
Se uma subsequência de a_n converge para 1 , então a_n converge para 1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A afirmação é: “Se uma subsequência de converge para 1, então converge para 1.” A matéria envolvida aqui é Sequências Numéricas e Convergência de Sequências. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma subsequência e o que significa uma sequência convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma subsequência. Uma subsequência de é uma nova sequência formada pelos termos de retirados em ordem crescente, mas nem necessariamente todos os termos. Por exemplo, se , uma subsequência pode ser .

Passo 3

Agora, sobre convergência: uma sequência converge para um número se, à medida que cresce, os termos de ficam cada vez mais próximos de . Em símbolos, dizemos que .

Passo 4

A afirmação da questão diz que “se uma subsequência converge para 1, então a sequência inteira converge para 1”. Vamos ver se isso é sempre verdade. Para isso, vamos procurar um contraexemplo, ou seja, uma sequência que tenha uma subsequência que converge para 1, mas a sequência toda não converge para 1.

Passo 5

Considere a sequência . Essa sequência oscila entre -1 e 1:
  • Quando é par,
  • Quando é ímpar,

Passo 6

Vamos olhar as subsequências:
  • A subsequência dos termos pares é , que claramente converge para 1.
  • A subsequência dos termos ímpares é , que converge para -1.

Passo 7

Aqui temos que uma das subsequências (dos termos pares) converge para 1, mas a sequência original não converge, já que ela continua alternando entre -1 e 1 sem se estabilizar em um único valor.

Passo 8

Portanto, esse exemplo mostra que mesmo tendo uma subsequência que converge para 1, a sequência inteira não converge para 1. Isso significa que a afirmação apresentada é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Uma sequência pode ter uma subsequência que converge para 1 sem que a sequência inteira convirja para 1, como no exemplo .

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