Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas e justifique sua escolha usando resultados vistos em aula ou um contraexemplo.
Se uma subsequência de
converge para 1 , então
converge para 1.
Se uma subsequência de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A afirmação é: “Se uma subsequência de
converge para 1, então
converge para 1.” A matéria envolvida aqui é Sequências Numéricas e Convergência de Sequências. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma subsequência e o que significa uma sequência convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma subsequência. Uma subsequência de
é uma nova sequência formada pelos termos de
retirados em ordem crescente, mas nem necessariamente todos os termos. Por exemplo, se
, uma subsequência pode ser
.
Passo 3
Agora, sobre convergência: uma sequência
converge para um número
se, à medida que
cresce, os termos de
ficam cada vez mais próximos de
. Em símbolos, dizemos que
.
Passo 4
A afirmação da questão diz que “se uma subsequência converge para 1, então a sequência inteira converge para 1”. Vamos ver se isso é sempre verdade. Para isso, vamos procurar um contraexemplo, ou seja, uma sequência que tenha uma subsequência que converge para 1, mas a sequência toda não converge para 1.
Passo 5
Considere a sequência
. Essa sequência oscila entre -1 e 1:
- Quando
é par, - Quando
é ímpar,
Passo 6
Vamos olhar as subsequências:
- A subsequência dos termos pares é
, que claramente converge para 1. - A subsequência dos termos ímpares é
, que converge para -1.
Passo 7
Aqui temos que uma das subsequências (dos termos pares) converge para 1, mas a sequência original
não converge, já que ela continua alternando entre -1 e 1 sem se estabilizar em um único valor.
Passo 8
Portanto, esse exemplo mostra que mesmo tendo uma subsequência que converge para 1, a sequência inteira não converge para 1. Isso significa que a afirmação apresentada é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Uma sequência pode ter uma subsequência que converge para 1 sem que a sequência inteira convirja para 1, como no exemplo
.