Seja a_n uma sequência.
Argumente por que o resultado não pode ser expandido para um infinito enumerável f_n para n=1 até infinito de funções. Construa um contraexemplo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma sequência e nos pede para explicar por que um certo resultado não pode ser expandido para um conjunto infinito enumerável de funções . Além disso, precisamos construir um contraexemplo para mostrar isso na prática. Para resolver, vamos precisar entender o que são sequências, funções e o conceito de infinito enumerável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência. Uma sequência é uma lista ordenada de elementos, onde cada elemento é identificado por um índice . Por exemplo, .
Agora, um conjunto infinito enumerável de funções significa que temos uma lista infinita de funções, cada uma identificada por um índice . Por exemplo, .

Passo 3

O que precisamos argumentar é por que um determinado resultado que vale para sequências não pode ser simplesmente estendido para esse conjunto infinito de funções. Para isso, vamos usar o conceito de contraste entre sequências e funções.
Em sequências, estamos lidando com elementos que podem ser números, por exemplo. Já em funções, cada pode ser uma regra que associa cada número de um conjunto a outro. Isso adiciona uma camada extra de complexidade.

Passo 4

Vamos pensar em um exemplo simples de uma sequência e tentar expandi-la para funções. Imagine a sequência , que converge para 0 conforme cresce. Agora, se tentarmos criar funções , temos uma sequência de funções que também “converge” para a função zero.
Mas aqui está o problema: enquanto a sequência tem um comportamento simples e previsível, a sequência de funções pode se comportar de maneiras muito mais complexas dependendo de como varia. Isso mostra que expandir o resultado de sequências para funções introduz desafios adicionais que podem impedir a aplicação direta do resultado original.

Passo 5

Agora, vamos construir um contraexemplo. Suponha que temos a sequência , que oscila entre 1 e -1 e não converge. Se tentarmos expandir isso para funções, por exemplo, , cada função ainda oscilará com , mas a convergência depende do comportamento de . Se não for fixo, a sequência de funções pode não ter um limite claro, diferentemente da sequência de números que já sabemos que não convergiu.
Esse contraste mostra que o comportamento de sequências e de conjuntos de funções pode ser bem diferente, e o que vale para uma não necessariamente vale para a outra.

Resposta

Portanto, mostramos que o resultado que se aplica a sequências não pode ser estendido diretamente para um conjunto infinito enumerável de funções, como ilustrado pelo contraexemplo da sequência e suas funções correspondentes .

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