Seja
uma sequência.
Argumente por que o resultado não pode ser expandido para um infinito enumerável
de funções. Construa um contraexemplo.
Argumente por que o resultado não pode ser expandido para um infinito enumerável
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma sequência
e nos pede para explicar por que um certo resultado não pode ser expandido para um conjunto infinito enumerável de funções
. Além disso, precisamos construir um contraexemplo para mostrar isso na prática. Para resolver, vamos precisar entender o que são sequências, funções e o conceito de infinito enumerável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência. Uma sequência
é uma lista ordenada de elementos, onde cada elemento é identificado por um índice
. Por exemplo,
.
Agora, um conjunto infinito enumerável de funções
significa que temos uma lista infinita de funções, cada uma identificada por um índice
. Por exemplo,
.
Passo 3
O que precisamos argumentar é por que um determinado resultado que vale para sequências não pode ser simplesmente estendido para esse conjunto infinito de funções. Para isso, vamos usar o conceito de contraste entre sequências e funções.
Em sequências, estamos lidando com elementos que podem ser números, por exemplo. Já em funções, cada
pode ser uma regra que associa cada número de um conjunto a outro. Isso adiciona uma camada extra de complexidade.
Passo 4
Vamos pensar em um exemplo simples de uma sequência e tentar expandi-la para funções. Imagine a sequência
, que converge para 0 conforme
cresce. Agora, se tentarmos criar funções
, temos uma sequência de funções que também “converge” para a função zero.
Mas aqui está o problema: enquanto a sequência
tem um comportamento simples e previsível, a sequência de funções
pode se comportar de maneiras muito mais complexas dependendo de como
varia. Isso mostra que expandir o resultado de sequências para funções introduz desafios adicionais que podem impedir a aplicação direta do resultado original.
Passo 5
Agora, vamos construir um contraexemplo. Suponha que temos a sequência
, que oscila entre 1 e -1 e não converge. Se tentarmos expandir isso para funções, por exemplo,
, cada função ainda oscilará com
, mas a convergência depende do comportamento de
. Se
não for fixo, a sequência de funções pode não ter um limite claro, diferentemente da sequência de números que já sabemos que não convergiu.
Esse contraste mostra que o comportamento de sequências e de conjuntos de funções pode ser bem diferente, e o que vale para uma não necessariamente vale para a outra.
Resposta
Portanto, mostramos que o resultado que se aplica a sequências não pode ser estendido diretamente para um conjunto infinito enumerável de funções, como ilustrado pelo contraexemplo da sequência
e suas funções correspondentes
.