Calcule a temperatura de 200 litros de xarope de glicose aquecido em um vaso com jaqueta agitada por 30 minutos, se a temperatura inicial do xarope é 30^{\circ} \mathrm{C}, a temperatura do vapor na jaqueta é 120^{\circ} \mathrm{C}, a densidade e a capacidade térmica do xarope são 1230 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e 3,35 \mathrm{~kJ} /\left(\mathrm{kg}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), respectivamente, o coeficiente global de transferência de calor entre o meio de aquecimento e o xarope é 200 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}\right) e a área de superfície interna do vaso em contato com o xarope é 1,5 \mathrm{~m}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura final de 200 L de xarope agitado após 30 min de aquecimento em jaqueta a 120\circC, sabendo-se que o xarope parte de 30\circC. Este problema envolve transferência de calor transiente em um corpo bem agitado (modelo de capacitância térmica lumped), que satisfaz a equação
T(t)=T_{\infty} + \bigl(T_{0}-T_{\infty}\bigr)\exp\Bigl(-\frac{UA}{m\,c_{p}}\,t\Bigr)
onde: T(t) é a temperatura no tempo t, T_{\infty} é a temperatura do meio de aquecimento ( 120\circC), T_{0} é a temperatura inicial ( 30\circC), U é o coeficiente global de transferência de calor, A é a área de troca, m é a massa de xarope, c_{p} é a capacidade térmica do xarope.

Passo 2

Calcular a massa m do xarope usando densidade \rho=1230\:\mathrm{kg/m^{3}} e volume V=200\:\mathrm{L}=0{,}2\:\mathrm{m^{3}}:
m = \rho\,V = 1230 \times 0{,}2 = 246\:\mathrm{kg}.

Passo 3

Determinar o produto U\,A e a capacidade térmica total m\,c_{p}.
U\,A = 200\:\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m^{2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}}} \times 1{,}5\:\mathrm{m^{2}} = 300\:\frac{\mathrm{W}}{{}^{\circ}\mathrm{C}},
m\,c_{p} = 246\:\mathrm{kg} \times 3{,}35\:\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\,{}^{\circ}\mathrm{C}} = 246 \times 3350\:\frac{\mathrm{J}}{{}^{\circ}\mathrm{C}} = 824100\:\frac{\mathrm{J}}{{}^{\circ}\mathrm{C}}.

Passo 4

Calcular a constante de tempo \tau = \dfrac{m\,c_{p}}{U\,A} e então T(30\:\mathrm{min}).
\tau = \frac{824100}{300}\:\mathrm{s} \approx 2747\:\mathrm{s}, \quad t = 30\:\mathrm{min} = 1800\:\mathrm{s},
\exp\!\Bigl(-\frac{t}{\tau}\Bigr) = \exp\!\Bigl(-\frac{1800}{2747}\Bigr) \approx 0{,}519.
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T(1800) = 120 + (30 - 120)\times 0{,}519 = 120 - 90 \times 0{,}519 \approx 73{,}3\;{}^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura aproximada do xarope após 30 min de aquecimento é 73{,}3\;{}^{\circ}\mathrm{C}.

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