Lâminas de abóbora foram secas, em equipamento adequado, para obtenção de petiscos do tipo chips, à pressão atmosférica e temperatura igual a 40^{\circ} \mathrm{C}. O formato das lâminas pode ser assemelhado a um retângulo, possuindo as seguintes dimensões, em centímetros: 0,1 \times 15 \times 30(E \times L \times C). No equilíbrio, a umidade registrada foi igual a 9,5 \% e, em 400 segundos, a umidade média foi reduzida de 16,5 \% para 12 \%. Com base nos dados, calcule o coeficiente de difusividade efetivo para este processo de secagem. ( D_{e f}= 2,275 \times 10^{-6} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} )

Passo 1

O enunciado nos dá lâminas de abóbora em formato de slab com espessura E=0,1,cm (dimensões laterais muito maiores, logo difusão unidimensional), secas a 40^\circC e pressão atmosférica. A umidade inicial é X_0=16,5\%, em t=400,s a umidade média cai para X_t=12\% e no equilíbrio vale X_{eq}=9,5\%. Queremos calcular o coeficiente de difusividade efetivo D_{ef} usando a solução de Fick para slab no regime de difusão interna controlada.

Passo 2

Definimos a razão de umidade (Moisture Ratio) como
MR = \frac{X_t - X_{eq}}{X_0 - X_{eq}}
Substituindo
MR = \frac{12 - 9,5}{16,5 - 9,5} = \frac{2,5}{7} \approx 0,3571.

Passo 3

Para um slab de meia‐espessura L, a solução aproximada (primeiro termo) é
MR \approx \frac{8}{\pi^2}\exp\Bigl(-\,\frac{D_{ef}\,\pi^2\,t}{4\,L^2}\Bigr).
Como a espessura total é E=0,1,cm, a meia‐espessura vale
L = \frac{E}{2} = 0,05\text{ cm}.

Passo 4

Isolando o fator exponencial:
\exp\Bigl(-\,\frac{D_{ef}\,\pi^2\,t}{4\,L^2}\Bigr) = MR\,\frac{\pi^2}{8}.
Aplicando logaritmo e rearranjando, obtemos
-\,\frac{D_{ef}\,\pi^2\,t}{4\,L^2} = \ln\!\Bigl(MR\,\frac{\pi^2}{8}\Bigr), \quad D_{ef} = -\frac{4\,L^2}{\pi^2\,t} \ln\!\Bigl(MR\,\frac{\pi^2}{8}\Bigr).

Passo 5

Substituindo L=0,05,cm, t=400,s e MR\approx0,3571:
MR\,\frac{\pi^2}{8}\approx0,3571\times1,2337\approx0,4407, \quad \ln(0,4407)\approx-0,818.
Logo
D_{ef} = -\frac{4\times(0,05)^2}{\pi^2\times400}\times(-0,818) \approx2,28\times10^{-6}\,\mathrm{cm^2/s}.

Resposta

O coeficiente de difusividade efetivo é
D_{ef}\approx2,275\times10^{-6}\,\mathrm{cm^2/s}.

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