Um fio elétrico de 2,2 \mathrm{~mm} de diâmetro e 14 m de comprimento é estreitamente envolvido com uma cobertura de plástico de 1 mm de espessura cuja condutividade térmica é \mathrm{k}_{\mathrm{p}}=0,15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}. Medições elétricas indicam que a corrente elétrica de 13 \mathrm{~A}(\mathrm{I}) passa através do fio e que há queda de tensão de 8 \mathrm{~V}(\mathrm{~V}) ao longo do fio. Se o fio está exposto ao meio a \mathrm{T}_{\infty}=30^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de transferência de calor \mathrm{h}=24 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}, determine:
a temperatura no centro do fio ( \mathrm{k}_{\text {fio }}=401 W/(m.K)). A taxa de geração de calor no fio em W pode ser calculada de acordo com a seguinte relação: q=V. I. 0 perfil de temperatura para um cilindro maciço com geração uniforme de energia é dado por (Apêndice C, Tabela C3):
T(r)=\frac{\dot{q} r_{0}^{2}}{4 k}\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)+T_{s}

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico de cobre (condutividade térmica k_{\mathrm{fio}}=401\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}), diâmetro 2{,}2\\ \mathrm{mm} (raio interno r_1=1{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm m), comprimento L=14\\ \mathrm m, revestido por plástico de espessura 1\\ \mathrm{mm} (raio externo r_2=r_1+1\times10^{-3}\\ \mathrm m=2{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm m) e condutividade k_p=0{,}15\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. Passa corrente I=13\\ \mathrm A com queda de tensão V=8\\ \mathrm V, gerando potência elétrica
q = V\cdot I
que se dissipa radialmente através do plástico e por convecção (coeficiente h=24\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}) para o ambiente a T_\infty=30\,^\circ\mathrm C. Queremos a temperatura no centro do fio, usando o perfil
T(r)=\frac{\dot q\,r_1^2}{4\,k_{\mathrm fio}}\bigl(1-\tfrac{r^2}{r_1^2}\bigr)+T_s
onde T_s é a temperatura na superfície do cobre r=r_1.

Passo 2

Calcular a potência por unidade de comprimento e a taxa volumétrica de geração no cobre.
A potência total é
q = 8\\ \mathrm V \times 13\\ \mathrm A = 104\\ \mathrm W.
Logo, por metro de comprimento,
q' = \frac{q}{L} = \frac{104\\ \mathrm W}{14\\ \mathrm m} = 7{,}4286\\ \mathrm{W/m}.
A seção do cobre é A_c=\pi\,r_1^2, então
\dot q = \frac{q'}{A_c} = \frac{7{,}4286}{\pi\,(1{,}1\times10^{-3})^2} \approx1{,}95\times10^{6}\\ \mathrm{W/m^3}.

Passo 3

Determinar a resistência térmica radial por unidade de comprimento do plástico e a convectiva na superfície externa r_2.
A resistência de condução pelo plástico é
R'_{\mathrm cond} =\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi\,k_p} =\frac{\ln\bigl(\tfrac{2{,}1}{1{,}1}\bigr)}{2\pi\times0{,}15} \approx0{,}686\\ \frac{\mathrm K}{\mathrm{W/m}}.
A resistência convectiva é
R'_{\mathrm conv} =\frac{1}{h\,2\pi\,r_2} =\frac{1}{24\times2\pi\times2{,}1\times10^{-3}} \approx3{,}16\\ \frac{\mathrm K}{\mathrm{W/m}}.

Passo 4

Calcular a temperatura na superfície do cobre r=r_1.
T_s = T_\infty + q'\,\bigl(R'_{\mathrm cond}+R'_{\mathrm conv}\bigr) = 30 + 7{,}4286\times(0{,}686+3{,}16) \approx30 + 28{,}58 = 58{,}58\,^\circ\mathrm C.

Passo 5

Determinar a temperatura no centro do fio r=0 pelo perfil com geração uniforme:
T(0) =\frac{\dot q\,r_1^2}{4\,k_{\mathrm fio}} + T_s = \frac{1{,}95\times10^{6}\,(1{,}1\times10^{-3})^2}{4\times401} + 58{,}58 \approx0{,}0015 + 58{,}58 =58{,}5815\,^\circ\mathrm C.

Resposta

A temperatura no centro do fio é aproximadamente 58{,}6\,^\circ\mathrm C.

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