Um recipiente contem 128 moléculas iguais cujas velocidades estão distribuídas da seguinte forma:
de
moléculas
4
12
20
24
20
16
12
8
6
4
Intervalo de
velocidades
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
Plote estes dados e assinale as abscissas correspondentes à velocidade mais provável
, a velocidade média
e a velocidade média quadrática
.
DICA: Consulte o capítulo 8, seção 8.1, do livro “Física Moderna” de Paul Tipler (
edição).
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4 | 12 | 20 | 24 | 20 | 16 | 12 | 8 | 6 | 4 | |||
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| 1,0 | 2,0 | 3,0 | 4,0 | 5,0 | 6,0 | 7,0 | 8,0 | 9,0 | 10,0 |
DICA: Consulte o capítulo 8, seção 8.1, do livro “Física Moderna” de Paul Tipler (
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Plote (faça o histograma) dos dados de velocidades fornecidos.
- Assinale as abscissas correspondentes a: a velocidade mais provável
, a velocidade média e a velocidade média quadrática (RMS) .
Os dados foram extraídos da tabela fornecida (estou pegando explicitamente os números da tabela). Cada classe tem largura
e as frequências são:
Observação importante: o enunciado afirma haver
moléculas no recipiente, mas a soma das frequências dadas é
Não tenho como corrigir isso sem informação extra; portanto vou proceder usando as frequências exatamente como dadas (portanto
). Se na sua prova o total for realmente
, substitua
por
nas fórmulas e refaça os cálculos.
Para calcular média e RMS vou usar como representante de cada classe o ponto médio da classe (por exemplo para
uso
, para
uso
, etc.). Esses são procedimentos padrão para dados agrupados.
Passo 2
Como plotar (instruções passo a passo para o histograma):
- No eixo horizontal (abscissas) marque as classes
. - No eixo vertical (ordenadas) marque o número de moléculas (frequência).
- Para cada classe desenhe uma barra de largura
com altura igual ao número de moléculas daquela classe (por exemplo primeira barra altura , segunda , etc.). - Depois de desenhar as barras, marque verticalmente (linhas ou setas) as abscissas correspondentes a
, e (os valores numéricos serão obtidos nos passos seguintes). Use cores ou etiquetas para identificar cada uma.
Agora vamos calcular os valores numéricos que você deve assinalar no gráfico.
Passo 3
Cálculo da velocidade mais provável
(modo) para dados agrupados.
Conceito rápido: a velocidade mais provável é a que corresponde ao pico da distribuição. Para dados agrupados a classe modal é a classe com maior frequência; para refinar o valor dentro da classe pode-se usar interpolação linear com a fórmula do modo para dados agrupados.
Fórmula do modo (dados agrupados) — explicar o que é cada termo:
onde:
-
é o limite inferior da classe modal (a abscissa onde começa a classe), -
é a frequência da classe modal, -
é a frequência da classe imediatamente à esquerda, -
é a frequência da classe imediatamente à direita, -
é a largura da classe.
Na tabela a maior frequência é
para a classe
. Logo
,
,
(classe
) e
(classe
).
Aplicando na fórmula:
Interpretação: o modo coincide com o ponto médio da classe modal neste caso,
.
Passo 4
Cálculo da velocidade média
.
Conceito: para uma amostra agrupada, a média aritmética é aproximada por
onde
é o número de moléculas na i-ésima classe,
é o ponto médio da i-ésima classe e
.
Lista dos pontos médios
e dos produtos
(peguei os
da tabela e os
como pontos médios
):
Somando os produtos:
E o total
(ver observação no Passo 1).
Portanto a média é
Arredondando para uma precisão razoável (duas casas decimais) dá
. Se quiser mais dígitos, mantenha
.
Passo 5
Cálculo da velocidade média quadrática (RMS)
.
Conceito: a velocidade RMS é a raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades:
onde novamente
são os pontos médios.
Calculemos
para cada classe (usando os mesmos
do passo anterior):
Somando:
Logo
e
Arredondando para duas casas decimais:
.
Passo 6
O que marcar no gráfico:
- Marque
(linha vertical atravessando a barra da classe ), etiquetando como “ ”. - Marque
(uma linha vertical entre as classes e , mais próximo de do que de ). - Marque
(linha vertical bem próxima de ).
Dica prática para a prova: desenhe o histograma com barras de largura igual, então trace linhas verticais contínuas e escreva o valor numérico em cima de cada linha; isso deixa a figura clara e rápida de interpretar.