Um recipiente contem 128 moléculas iguais cujas velocidades estão distribuídas da seguinte forma:
\mathrm{N}^{\circ} de
moléculas
4 12 20 24 20 16 12 8 6 4
Intervalo de
velocidades
(\mathrm{m} / \mathrm{s})
0,0- 1,0- 2,0- 3,0- 4,0- 5,0- 6,0- 7,0- 8,0- 9,0-
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
Plote estes dados e assinale as abscissas correspondentes à velocidade mais provável v_{m}, a velocidade média <v> e a velocidade média quadrática v_{r m s}.
DICA: Consulte o capítulo 8, seção 8.1, do livro “Física Moderna” de Paul Tipler ( 5^{\underline{\mathrm{a}}} edição).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Plote (faça o histograma) dos dados de velocidades fornecidos.
  • Assinale as abscissas correspondentes a: a velocidade mais provável v_{m}, a velocidade média \langle v\rangle e a velocidade média quadrática (RMS) v_{\mathrm{rms}}.
Os dados foram extraídos da tabela fornecida (estou pegando explicitamente os números da tabela). Cada classe tem largura \Delta=1{,}0\\ \mathrm{m/s} e as frequências são:
\begin{array}{c|cccccccccc} \text{Intervalo (m/s)} & 0{,}0-1{,}0 & 1{,}0-2{,}0 & 2{,}0-3{,}0 & 3{,}0-4{,}0 & 4{,}0-5{,}0 & 5{,}0-6{,}0 & 6{,}0-7{,}0 & 7{,}0-8{,}0 & 8{,}0-9{,}0 & 9{,}0-10{,}0\\hline \text{Número de moléculas }n_i & 4 & 12 & 20 & 24 & 20 & 16 & 12 & 8 & 6 & 4 \end{array}úé
Observação importante: o enunciado afirma haver 128 moléculas no recipiente, mas a soma das frequências dadas é
4+12+20+24+20+16+12+8+6+4 = 126.
Não tenho como corrigir isso sem informação extra; portanto vou proceder usando as frequências exatamente como dadas (portanto N=126). Se na sua prova o total for realmente 128, substitua N por 128 nas fórmulas e refaça os cálculos.
Para calcular média e RMS vou usar como representante de cada classe o ponto médio da classe (por exemplo para 0{,}0-1{,}0 uso 0{,}5\\ \mathrm{m/s}, para 1{,}0-2{,}0 uso 1{,}5\\ \mathrm{m/s}, etc.). Esses são procedimentos padrão para dados agrupados.

Passo 2

Como plotar (instruções passo a passo para o histograma):
  • No eixo horizontal (abscissas) marque as classes 0{,}0-1{,}0,\\\ 1{,}0-2{,}0,\\ \dots,\\\ 9{,}0-10{,}0.
  • No eixo vertical (ordenadas) marque o número de moléculas (frequência).
  • Para cada classe desenhe uma barra de largura 1{,}0 com altura igual ao número de moléculas daquela classe (por exemplo primeira barra altura 4, segunda 12, etc.).
  • Depois de desenhar as barras, marque verticalmente (linhas ou setas) as abscissas correspondentes a v_{m}, \langle v\rangle e v_{\mathrm{rms}} (os valores numéricos serão obtidos nos passos seguintes). Use cores ou etiquetas para identificar cada uma.
Agora vamos calcular os valores numéricos que você deve assinalar no gráfico.

Passo 3

Cálculo da velocidade mais provável v_{m} (modo) para dados agrupados.
Conceito rápido: a velocidade mais provável é a que corresponde ao pico da distribuição. Para dados agrupados a classe modal é a classe com maior frequência; para refinar o valor dentro da classe pode-se usar interpolação linear com a fórmula do modo para dados agrupados.
Fórmula do modo (dados agrupados) — explicar o que é cada termo:
v_{m} = v_{\ell} + \frac{f_m - f_{-}}{(2f_m - f_{-} - f_{+})}\,\Delta,
onde:
  • v_{\ell} é o limite inferior da classe modal (a abscissa onde começa a classe),
  • f_m é a frequência da classe modal,
  • f_{-} é a frequência da classe imediatamente à esquerda,
  • f_{+} é a frequência da classe imediatamente à direita,
  • \Delta é a largura da classe.
Na tabela a maior frequência é f_m=24 para a classe 3{,}0-4{,}0. Logo v_{\ell}=3{,}0, \Delta=1{,}0, f_{-}=20 (classe 2{,}0-3{,}0) e f_{+}=20 (classe 4{,}0-5{,}0).
Aplicando na fórmula:
v_{m} = 3{,}0 + \frac{24-20}{(2\cdot24 - 20 - 20)}\cdot 1{,}0 = 3{,}0 + \frac{4}{48-40}\cdot 1{,}0 = 3{,}0 + \frac{4}{8}\cdot 1{,}0 = 3{,}0 + 0{,}5 = 3{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o modo coincide com o ponto médio da classe modal neste caso, 3{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo da velocidade média \langle v\rangle.
Conceito: para uma amostra agrupada, a média aritmética é aproximada por
\langle v\rangle = \frac{1}{N}\sum_{i} n_i \, v_i,
onde n_i é o número de moléculas na i-ésima classe, v_i é o ponto médio da i-ésima classe e N=\sum_i n_i.
Lista dos pontos médios v_i e dos produtos n_i v_i (peguei os n_i da tabela e os v_i como pontos médios 0{,}5,\\\ 1{,}5,\\ \dots,\\\ 9{,}5):
\begin{array}{c|cccccccccc} v_i\\ (\mathrm{m/s}) & 0{,}5 & 1{,}5 & 2{,}5 & 3{,}5 & 4{,}5 & 5{,}5 & 6{,}5 & 7{,}5 & 8{,}5 & 9{,}5\\hline n_i & 4 & 12 & 20 & 24 & 20 & 16 & 12 & 8 & 6 & 4\\hline n_i v_i & 2{,}0 & 18{,}0 & 50{,}0 & 84{,}0 & 90{,}0 & 88{,}0 & 78{,}0 & 60{,}0 & 51{,}0 & 38{,}0 \end{array}
Somando os produtos:
\sum_i n_i v_i = 2{,}0 + 18{,}0 + 50{,}0 + 84{,}0 + 90{,}0 + 88{,}0 + 78{,}0 + 60{,}0 + 51{,}0 + 38{,}0 = 559{,}0.
E o total N=\sum_i n_i = 126 (ver observação no Passo 1).
Portanto a média é
\langle v\rangle = \frac{559{,}0}{126} \approx 4{,}436507937\dots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para uma precisão razoável (duas casas decimais) dá \langle v\rangle \approx 4{,}44\\ \mathrm{m/s}. Se quiser mais dígitos, mantenha 4{,}4365\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculo da velocidade média quadrática (RMS) v_{\mathrm{rms}}.
Conceito: a velocidade RMS é a raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades:
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\langle v^2\rangle} \quad\text{com}\quad \langle v^2\rangle = \frac{1}{N}\sum_i n_i\, v_i^2,
onde novamente v_i são os pontos médios.
Calculemos n_i v_i^2 para cada classe (usando os mesmos v_i do passo anterior):
\begin{array}{c|cccccccccc} v_i^2 & 0{,}25 & 2{,}25 & 6{,}25 & 12{,}25 & 20{,}25 & 30{,}25 & 42{,}25 & 56{,}25 & 72{,}25 & 90{,}25\\hline n_i v_i^2 & 1{,}0 & 27{,}0 & 125{,}0 & 294{,}0 & 405{,}0 & 484{,}0 & 507{,}0 & 450{,}0 & 433{,}5 & 361{,}0 \end{array}
Somando:
\sum_i n_i v_i^2 = 1{,}0 + 27{,}0 + 125{,}0 + 294{,}0 + 405{,}0 + 484{,}0 + 507{,}0 + 450{,}0 + 433{,}5 + 361{,}0 = 3087{,}5.
Logo
\langle v^2\rangle = \frac{3087{,}5}{126} \approx 24{,}50396825\dots
e
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{24{,}50396825\dots} \approx 4{,}950\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para duas casas decimais: v_{\mathrm{rms}}\approx 4{,}95\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

O que marcar no gráfico:
  • Marque v_{m}=3{,}5\\ \mathrm{m/s} (linha vertical atravessando a barra da classe 3{,}0-4{,}0), etiquetando como “ v_m”.
  • Marque \langle v\rangle \approx 4{,}44\\ \mathrm{m/s} (uma linha vertical entre as classes 4{,}0-5{,}0 e 3{,}0-4{,}0, mais próximo de 4{,}5 do que de 4{,}0).
  • Marque v_{\mathrm{rms}}\approx 4{,}95\\ \mathrm{m/s} (linha vertical bem próxima de 5{,}0\\ \mathrm{m/s}).
Dica prática para a prova: desenhe o histograma com barras de largura igual, então trace linhas verticais contínuas e escreva o valor numérico em cima de cada linha; isso deixa a figura clara e rápida de interpretar.

Resposta

v_{m}=3{,}5\\ \mathrm{m/s}
\langle v\rangle \approx 4{,}4365\\ \mathrm{m/s}
v_{\mathrm{rms}}\approx 4{,}95\\ \mathrm{m/s}

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