Calcule a temperatura na superfície da Lua quando a mesma está sendo diretamente iluminada pela radiação solar. Suponha que tanto a Lua quanto o Sol se comportam como corpos negros. Dados: Temperatura na superfície do Sol: TS=5800 K; Raio do Sol: RS=6,96 times 10^5 km; distância média do Sol à Lua: RS-L= 1,5 times 10^8 km.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a temperatura na superfície da Lua quando ela está diretamente iluminada pela radiação solar. Para isso, vamos usar conceitos de corpos negros e a Lei de Stefan-Boltzmann. Precisamos entender como a radiação do Sol chega até a Lua e como a Lua emite essa energia de volta. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um corpo negro. Na física, um corpo negro é um objeto que absorve toda a radiação que incide sobre ele e também emite radiação de forma máxima para uma determinada temperatura. Tanto o Sol quanto a Lua estão sendo tratados como corpos negros nesse problema.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que nos diz quanta energia um corpo negro emite por unidade de área. A fórmula é:
P = sigma T^4
Onde:
  • $ P $ é a potência emitida por unidade de área,
  • $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann ($ 5,67 \times 10^{-8} , \mathrm{W/m2K4} $),
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin.

Passo 4

Para encontrar a temperatura na superfície da Lua, precisamos igualar a potência que a Lua recebe do Sol com a potência que ela emite de volta. Primeiro, vamos calcular a potência que chega até a Lua.
A Lei do Inverso do Quadrado nos ajuda aqui. A intensidade da radiação diminui com o quadrado da distância. A fórmula para a potência recebida por unidade de área na Lua é:
Precebida = sigma TS^4 ( RSRS-L )^2
Onde:
  • $ T_S $ é a temperatura da superfície do Sol,
  • $ R_S $ é o raio do Sol,
  • $ R_{S-L} $ é a distância média do Sol à Lua.

Passo 5

Vamos substituir os valores dados na fórmula:
Precebida = 5,67 times 10^-8 times (5800)^4 times ( 6,96 times 10^5 , km1,5 times 10^8 , km )^2
Primeiro, vamos calcular $ \left( \frac{6,96 \times 10^{5}}{1,5 \times 10^{8}} \right)^2 $:
( 6,96 times 10^51,5 times 10^8 )^2
Então:
( 6,96 times 10^51,5 times 10^8 )^2 = ( 4,64 times 10^-3 )^2 = 2,15 times 10^-5

Passo 6

Agora, calculamos $ (5800)^4 $:
(5800)^4
Substituindo de novo:
5800^4 = 1,129 times 10^15
Multiplicando os números:
Precebida = 5,67 times 10^-8 times 1,129 times 10^15 times 2,15 times 10^-5

Passo 7

Agora que sabemos a potência recebida pela Lua, igualamos isso à potência emitida pela Lua para encontrar sua temperatura:
Pemitida = sigma T^4 = Precebida
Logo:
sigma T^4 = 1380
Resolvendo para $ T $:
T
T^4 = 13805,67 times 10^-8 approx 2,436 times 10^10

Resposta

A temperatura na superfície da Lua, quando diretamente iluminada pela radiação solar, é aproximadamente 394 K.

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