Calcule a temperatura na superfície da Lua quando a mesma está sendo diretamente iluminada pela radiação solar. Suponha que tanto a Lua quanto o Sol se comportam como corpos negros. Dados: Temperatura na superfície do Sol:
; Raio do Sol:
; distância média do Sol à Lua:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a temperatura na superfície da Lua quando ela está diretamente iluminada pela radiação solar. Para isso, vamos usar conceitos de corpos negros e a Lei de Stefan-Boltzmann. Precisamos entender como a radiação do Sol chega até a Lua e como a Lua emite essa energia de volta. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um corpo negro. Na física, um corpo negro é um objeto que absorve toda a radiação que incide sobre ele e também emite radiação de forma máxima para uma determinada temperatura. Tanto o Sol quanto a Lua estão sendo tratados como corpos negros nesse problema.
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que nos diz quanta energia um corpo negro emite por unidade de área. A fórmula é:
Onde:
- $ P $ é a potência emitida por unidade de área,
- $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann ($ 5,67 \times 10^{-8} , \mathrm{W/m2K4} $),
- $ T $ é a temperatura em Kelvin.
Passo 4
Para encontrar a temperatura na superfície da Lua, precisamos igualar a potência que a Lua recebe do Sol com a potência que ela emite de volta. Primeiro, vamos calcular a potência que chega até a Lua.
A Lei do Inverso do Quadrado nos ajuda aqui. A intensidade da radiação diminui com o quadrado da distância. A fórmula para a potência recebida por unidade de área na Lua é:
Onde:
- $ T_S $ é a temperatura da superfície do Sol,
- $ R_S $ é o raio do Sol,
- $ R_{S-L} $ é a distância média do Sol à Lua.
Passo 5
Vamos substituir os valores dados na fórmula:
Primeiro, vamos calcular $ \left( \frac{6,96 \times 10^{5}}{1,5 \times 10^{8}} \right)^2 $:
Então:
Passo 6
Agora, calculamos $ (5800)^4 $:
Substituindo de novo:
Multiplicando os números:
Passo 7
Agora que sabemos a potência recebida pela Lua, igualamos isso à potência emitida pela Lua para encontrar sua temperatura:
Logo:
Resolvendo para $ T $:
Resposta
A temperatura na superfície da Lua, quando diretamente iluminada pela radiação solar, é aproximadamente 394 K.