Um fóton com comprimento de onda lambda=0,1385 nm se espalha a partir de um elétron inicialmente em repouso. Qual deverá ser o ângulo entre a direção de propagação dos fótons incidente e espalhado se a velocidade do elétron imediatamente após a colisão for 8,90 times 10^6 m / s? É preciso utilizar a expressão relativística para a energia cinética do elétron?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um fóton com comprimento de onda lambda = 0,1385 nm que escorre de um elétron que estava parado. Depois da colisão, o elétron ganha uma velocidade de v = 8,90 times 10^6 m/s. A missão é descobrir qual é o ângulo entre a direção do fóton antes da colisão e depois dela. Ah, e a gente quer saber se precisa usar a fórmula relativística para a energia cinética do elétron. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como espalhamento Compton, conservação de energia e conservação de momentum.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia do fóton incidente. A energia de um fóton é dada por:
E = hclambda
Onde:
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 J cdot s),
  • c é a velocidade da luz ( 3 times 10^8 m/s),
  • lambda é o comprimento de onda do fóton.
Vamos substituir os valores:
E = 6,626 times 10^-34 times 3 times 10^80,1385 times 10^-9 approx 1,43 times 10^-15 J

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética do elétron após a colisão. A energia cinética é dada por:
K = 12mv^2
Onde:
  • m é a massa do elétron ( 9,11 times 10^-31 kg),
  • v é a velocidade do elétron.
Substituindo:
K = 12 times 9,11 times 10^-31 times (8,90 times 10^6)^2 approx 3,61 times 10^-17 J
Observamos que a energia cinética do elétron é muito menor que a energia do fóton. Isso indica que podemos usar as aproximações não relativísticas para o elétron, já que sua velocidade é muito menor que a velocidade da luz.

Passo 4

Vamos usar a conservação de energia. A energia inicial é toda do fóton, e após a colisão, parte dela passou para o elétron. Assim:
E = E' + K
Onde:
  • E' é a energia do fóton espalhado.
Rearranjando:
E' = E - K approx 1,43 times 10^-15 - 3,61 times 10^-17 approx 1,39 times 10^-15 J

Passo 5

Agora, vamos relacionar os comprimentos de onda usando a fórmula de Compton:
lambda' - lambda = hmc(1 - cos theta)
Primeiro, precisamos encontrar lambda', o comprimento de onda do fóton espalhado:
lambda' = hcE' = 6,626 times 10^-34 times 3 times 10^81,39 times 10^-15 approx 1,43 times 10^-11 m = 0,0143 nm
Agora, substituímos na equação de Compton:
0,0143 - 0,1385 = 6,626 times 10^-349,11 times 10^-31(1 - cos theta)
Calculando o lado direito:
6,626 times 10^-349,11 times 10^-31 approx 7,28 times 10^-4 m
Então:
-0,1242 nm = 7,28 times 10^-4 (1 - cos theta)
Convertendo nm para metros para manter as unidades consistentes:
-0,1242 times 10^-9 = 7,28 times 10^-4 (1 - cos theta)
Resolvendo para cos theta:
1 - cos theta = -0,1242 times 10^-97,28 times 10^-4 approx -1,71 times 10^-7
cos theta approx 1 + 1,71 times 10^-7 approx 1,000000171
Isso sugere que theta é muito próximo de 0°, o que significa que o fóton não mudou significativamente sua direção após a colisão.

Resposta

O ângulo entre as direções do fóton antes e após a colisão é aproximadamente 0,00001^circ.

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