Um fóton com comprimento de onda
se espalha a partir de um elétron inicialmente em repouso. Qual deverá ser o ângulo entre a direção de propagação dos fótons incidente e espalhado se a velocidade do elétron imediatamente após a colisão for
? É preciso utilizar a expressão relativística para a energia cinética do elétron?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um fóton com comprimento de onda
que escorre de um elétron que estava parado. Depois da colisão, o elétron ganha uma velocidade de
. A missão é descobrir qual é o ângulo entre a direção do fóton antes da colisão e depois dela. Ah, e a gente quer saber se precisa usar a fórmula relativística para a energia cinética do elétron. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como espalhamento Compton, conservação de energia e conservação de momentum.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia do fóton incidente. A energia de um fóton é dada por:
Onde:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz ( ), -
é o comprimento de onda do fóton.
Vamos substituir os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética do elétron após a colisão. A energia cinética é dada por:
Onde:
-
é a massa do elétron ( ), -
é a velocidade do elétron.
Substituindo:
Observamos que a energia cinética do elétron é muito menor que a energia do fóton. Isso indica que podemos usar as aproximações não relativísticas para o elétron, já que sua velocidade é muito menor que a velocidade da luz.
Passo 4
Vamos usar a conservação de energia. A energia inicial é toda do fóton, e após a colisão, parte dela passou para o elétron. Assim:
Onde:
-
é a energia do fóton espalhado.
Rearranjando:
Passo 5
Agora, vamos relacionar os comprimentos de onda usando a fórmula de Compton:
Primeiro, precisamos encontrar
, o comprimento de onda do fóton espalhado:
Agora, substituímos na equação de Compton:
Calculando o lado direito:
Então:
Convertendo nm para metros para manter as unidades consistentes:
Resolvendo para
:
Isso sugere que
é muito próximo de 0°, o que significa que o fóton não mudou significativamente sua direção após a colisão.
Resposta
O ângulo entre as direções do fóton antes e após a colisão é aproximadamente
.