Calcule o tempo de meia-vida e a constante de velocidade para a decomposição do peróxido de hidrogênio em solução aquosa 0,02 molar de iodeto de potássio a
, sabendo que nessas condições, 33,8% da quantidade inicial do mesmo é decomposta em 15 min em reação de primeira ordem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas coisas:
- O tempo de meia-vida (
) da decomposição do peróxido de hidrogênio nas condições dadas. - A constante de velocidade (
) da reação.
Informações fornecidas:
- A reação é de primeira ordem (isto é mandatório para resolver com as fórmulas que vamos usar).
- Em
min, da quantidade inicial foi decomposta. - Temperatura:
(informação dada, mas não necessária para os cálculos básicos aqui). - A solução contém iodeto de potássio
M (isto indica a condição experimental, mas o enunciado já afirma que a cinética é de primeira ordem sob essas condições).
Observação numérica importante que vamos usar: se
foi decomposta em
min, a fração que resta do reagente após
min é
Passo 2
Lembra da definição de reação de primeira ordem? Vou explicar passo a passo de forma bem tranquila.
Para uma reação de primeira ordem com respeito ao reagente
, a lei de velocidade diferencial é
onde:
-
é a concentração do reagente no tempo ; -
é a constante de velocidade (o que queremos achar); - o sinal negativo indica que
diminui com o tempo.
Separando variáveis e integrando desde
(concentração inicial
) até tempo
(concentração
), obtemos a forma integrada:
Essa fórmula é central: ela nos dá uma relação direta entre a razão das concentrações e o produto
. Observação: aqui
é o logaritmo natural.
Também existe uma fórmula direta para a meia-vida de uma reação de primeira ordem:
onde
. Essa fórmula vem da condição
aplicada à equação integrada.
Passo 3
Agora vamos aplicar a equação integrada ao nosso dado prático.
Temos que, em
min, a fração restante é
. Substituindo na equação integrada:
Isolando
:
Agora precisamos do valor numérico de
. Podemos aproximar usando expansão ou uma tabela de logaritmos; ao calcular,
Substituindo:
Arredondando para três algarismos significativos (compatível com o dado
):
Passo 4
Agora calculamos a meia-vida usando a fórmula para primeira ordem:
Substituindo
e
:
Arredondando de forma consistente:
Passo 5
Resumo rápido do raciocínio (só para fixar o método, sem novos cálculos):
- Converter a porcentagem decomposta em fração restante:
. - Usar a lei integrada de primeira ordem
para obter . - Usar
para obter a meia-vida.
Força aí — o procedimento é sempre o mesmo para questões de primeira ordem: pega a razão de concentrações, entra na equação integrada, acha
, e daí acha
.