Calcule o tempo de meia-vida e a constante de velocidade para a decomposição do peróxido de hidrogênio em solução aquosa 0,02 molar de iodeto de potássio a 25^{\circ} \mathrm{C}, sabendo que nessas condições, 33,8% da quantidade inicial do mesmo é decomposta em 15 min em reação de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas coisas:
  1. O tempo de meia-vida ( t_{1/2}) da decomposição do peróxido de hidrogênio nas condições dadas.
  2. A constante de velocidade ( k) da reação.
Informações fornecidas:
  • A reação é de primeira ordem (isto é mandatório para resolver com as fórmulas que vamos usar).
  • Em 15 min, 33{,}8\% da quantidade inicial foi decomposta.
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C} (informação dada, mas não necessária para os cálculos básicos aqui).
  • A solução contém iodeto de potássio 0{,}02 M (isto indica a condição experimental, mas o enunciado já afirma que a cinética é de primeira ordem sob essas condições).
Observação numérica importante que vamos usar: se 33{,}8\% foi decomposta em 15 min, a fração que resta do reagente após 15 min é
\text{fração restante} = 1 - 0{,}338 = 0{,}662.çã

Passo 2

Lembra da definição de reação de primeira ordem? Vou explicar passo a passo de forma bem tranquila.
Para uma reação de primeira ordem com respeito ao reagente A, a lei de velocidade diferencial é
-\frac{d[A]}{dt} = k[A],
onde:
  • [A] é a concentração do reagente no tempo t;
  • k é a constante de velocidade (o que queremos achar);
  • o sinal negativo indica que [A] diminui com o tempo.
Separando variáveis e integrando desde t=0 (concentração inicial [A]_0) até tempo t (concentração [A]_t), obtemos a forma integrada:
\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right) = -k t.
Essa fórmula é central: ela nos dá uma relação direta entre a razão das concentrações e o produto k t. Observação: aqui \ln é o logaritmo natural.
Também existe uma fórmula direta para a meia-vida de uma reação de primeira ordem:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k},
onde \ln 2 \approx 0{,}693147. Essa fórmula vem da condição [A]_{t_{1/2}} = \tfrac{1}{2}[A]_0 aplicada à equação integrada.

Passo 3

Agora vamos aplicar a equação integrada ao nosso dado prático.
Temos que, em t = 15 min, a fração restante é [A]_t/[A]_0 = 0{,}662. Substituindo na equação integrada:
\ln\!\left(0{,}662\right) = -k \cdot 15.
Isolando k:
k = -\frac{1}{15}\ln\!\left(0{,}662\right).
Agora precisamos do valor numérico de \ln(0{,}662). Podemos aproximar usando expansão ou uma tabela de logaritmos; ao calcular,
\ln\!\left(0{,}662\right) \approx -0{,}412.
Substituindo:
k \approx -\frac{1}{15}\times(-0{,}412) = \frac{0{,}412}{15} \approx 0{,}02747\\ \text{min}^{-1}.
Arredondando para três algarismos significativos (compatível com o dado 33{,}8\%):
k \approx 0{,}0275\\ \text{min}^{-1}.

Passo 4

Agora calculamos a meia-vida usando a fórmula para primeira ordem:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Substituindo k \approx 0{,}02747\\ \text{min}^{-1} e \ln 2 \approx 0{,}693147:
t_{1/2} \approx \frac{0{,}693147}{0{,}02747} \approx 25{,}24\\ \text{min}.
Arredondando de forma consistente:
t_{1/2} \approx 25{,}2\\ \text{min}.

Passo 5

Resumo rápido do raciocínio (só para fixar o método, sem novos cálculos):
  • Converter a porcentagem decomposta em fração restante: 1-0{,}338=0{,}662.
  • Usar a lei integrada de primeira ordem \ln([A]_t/[A]_0)=-kt para obter k.
  • Usar t_{1/2}=\ln 2/k para obter a meia-vida.
Força aí — o procedimento é sempre o mesmo para questões de primeira ordem: pega a razão de concentrações, entra na equação integrada, acha k, e daí acha t_{1/2}.

Resposta

k = 0{,}0275\\ \text{min}^{-1}
t_{1/2} = 25{,}2\\ \text{min}

Exercícios relacionados