Calcule o tempo necessário para que uma membrana gelatinosa de 2 mm de espessura absorva 58 g de álcool por litro de gel, quando totalmente mergulhado em um recipiente contendo uma solução cuja concentração de álcool é 85 g por litro de solução. Considere que o coeficiente de difusão e a constante de partição do álcool no gel sejam
e
de solução/L de Gel, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede o tempo para que uma lâmina de gel de espessura total de 2 mm absorva
g de álcool por litro de gel, imersa numa solução com
g de álcool por litro de solução. O processo é controle por difusão unidimensional num slab finito, com difusão pelas duas faces. Os dados são:
Dado / Significado
– Espessura total mm
– cm
/s (coeficiente de difusão)
– L solução/L gel (constante de partição)
– g/L solução (concentração no banho)
– g/L gel (concentração média desejada no gel)
Dado / Significado
– Espessura total
–
–
–
–
Para resolver precisamos:
- Converter unidades de espessura para cm e definir o “meio-lâmina” de difusão (metade da espessura).
- Calcular a concentração de equilíbrio no gel na superfície:
. - Usar a solução de difusão num slab de meia-espessura
com concentração superficial constante e aplicar a expressão para a concentração média . - Iterar (ou aproximar) para achar o número de Fourier
que atende . - Extrair
.
Passo 2
Converter a espessura e achar
:
2 mm cm (espessura total). Como a difusão ocorre pelas duas faces, a meia-espessura é
2 mm
Concentração superficial no gel em equilíbrio é
Passo 3
A solução clássica para um slab de meia-espessura
com concentração superficial constante
e concentração inicial zero dá, para a concentração média
,
onde
Como queremos
(veja passo 4) e esse valor não é muito baixo, podemos truncar a série no primeiro termo (
):
Passo 4
Calcular a razão desejada
Igualando à aproximação de um termo:
Numérico:
Logo
Passo 5
Reescrevendo
, temos
Convertendo para minutos,
min.
Resposta
O tempo necessário é de aproximadamente
s, ou cerca de
min.