Calcule o tempo necessário para que uma membrana gelatinosa de 2 mm de espessura absorva 58 g de álcool por litro de gel, quando totalmente mergulhado em um recipiente contendo uma solução cuja concentração de álcool é 85 g por litro de solução. Considere que o coeficiente de difusão e a constante de partição do álcool no gel sejam 6,0 \times 10-6 \mathrm{~cm} 2 . \mathrm{s}-1 e 0,95 \mathrm{~L} de solução/L de Gel, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede o tempo para que uma lâmina de gel de espessura total de 2 mm absorva 58 g de álcool por litro de gel, imersa numa solução com 85 g de álcool por litro de solução. O processo é controle por difusão unidimensional num slab finito, com difusão pelas duas faces. Os dados são:
Dado / Significado
– Espessura total =2 mm
D=6{,}0\times10^{-6} cm ^2/s (coeficiente de difusão)
K=0{,}95 L solução/L gel (constante de partição)
C_{\infty}=85 g/L solução (concentração no banho)
C_{\mathrm{alvo}}=58 g/L gel (concentração média desejada no gel)
Para resolver precisamos:
  1. Converter unidades de espessura para cm e definir o “meio-lâmina” de difusão (metade da espessura).
  2. Calcular a concentração de equilíbrio no gel na superfície: C_s = K\,C_{\infty}.
  3. Usar a solução de difusão num slab de meia-espessura L com concentração superficial constante e aplicar a expressão para a concentração média \bar C.
  4. Iterar (ou aproximar) para achar o número de Fourier \mathrm{Fo}=D\,t/L^2 que atende \bar C/C_s=C_{\mathrm{alvo}}/C_s.
  5. Extrair t.

Passo 2

Converter a espessura e achar L:
2 mm =0{,}2 cm (espessura total). Como a difusão ocorre pelas duas faces, a meia-espessura é
L = \frac{0{,}2}{2} = 0{,}1\\ \text{cm}.
Concentração superficial no gel em equilíbrio é
C_s = K\,C_{\infty} = 0{,}95 \times 85 = 80{,}75\\ \text{g/L gel}.

Passo 3

A solução clássica para um slab de meia-espessura L com concentração superficial constante C_s e concentração inicial zero dá, para a concentração média \bar C,
\frac{\bar C}{C_s} =1-\frac{8}{\pi^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}\exp\bigl(-(2n+1)^2\pi^2\,\mathrm{Fo}\bigr),
onde
\mathrm{Fo}=\frac{D\,t}{L^2}.
Como queremos \bar C/C_s\approx0{,}72 (veja passo 4) e esse valor não é muito baixo, podemos truncar a série no primeiro termo ( n=0):
\frac{\bar C}{C_s}\approx1-\frac{8}{\pi^2}\exp\bigl(-\pi^2\,\mathrm{Fo}\bigr).

Passo 4

Calcular a razão desejada
\frac{\bar C}{C_s} =\frac{58}{80{,}75}\approx0{,}7185.
Igualando à aproximação de um termo:
0{,}7185 =1-\frac{8}{\pi^2}\exp\bigl(-\pi^2\,\mathrm{Fo}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \exp\bigl(-\pi^2\,\mathrm{Fo}\bigr) =\bigl(1-0{,}7185\bigr)\frac{\pi^2}{8}.
Numérico:
1-0{,}7185 =0{,}2815,\quad \frac{\pi^2}{8}\approx1{,}2337 \quad\Longrightarrow\quad \exp\bigl(-\pi^2\,\mathrm{Fo}\bigr) \approx0{,}2815\times1{,}2337=0{,}3472.
Logo
-\pi^2\,\mathrm{Fo} = \ln(0{,}3472)\approx-1{,}058 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{Fo}=\frac{1{,}058}{\pi^2}\approx0{,}1072.

Passo 5

Reescrevendo \mathrm{Fo}=D\,t/L^2, temos
t = \mathrm{Fo}\,\frac{L^2}{D} =0{,}1072\;\frac{(0{,}1)^2}{6{,}0\times10^{-6}} =\frac{0{,}001072}{6{,}0\times10^{-6}} \approx178{,}7\\ \text{s}.
Convertendo para minutos, t\approx3{,}0 min.

Resposta

O tempo necessário é de aproximadamente 180 s, ou cerca de 3{,}0 min.

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