Questão 4)

Uma empresa farmacêutica precisa remover oxigênio dissolvido de um tanque de água, pois a presença de oxigênio pode oxidar ingredientes sensíveis durante a formulação. Para isso, utiliza-se nitrogênio puro, que é borbulhado continuamente no fundo do tanque a partir de um difusor. A agitação garante mistura completa do líquido.
Você foi contratado para estimar quanto tempo é necessário para reduzir a concentração de oxigênio dissolvido a 1% do valor inicial, assumindo que a transferência de massa é controlada pela fase líquida (tente explicar esta hipótese é razoável).
Dados Volume de líquido: 500 L ; concentração inicial de oxigênio: 9 \mathrm{mg} / \mathrm{L}, temperatura: 25^{\circ} \mathrm{C}; coeficiente volumétrico de transferência de massa ( k_{L} a ): 5 \cdot 10^{-4} s^{-1}.

Passo 1

O enunciado trata de remoção de oxigênio dissolvido num tanque bem agitado, usando bolhas de N_{2} puro. Como o líquido está bem misturado e a bolha é de N_{2} sem O_{2}, a concentração de equilíbrio de O_{2} na fase líquida junto à bolha é praticamente zero. Vamos modelar isso como um processo de transferência de massa controlado pela fase líquida, usando o coeficiente volumétrico de transferência de massa k_L a. Dados:
– Volume do líquido V=500\\ \mathrm{L} (não entra na equação de concentração pois o sistema é bem misturado)
– Concentração inicial C_0=9\\ \mathrm{mg/L}
– Temperatura 25^\circ\mathrm{C} (só para justificar propriedades do fluido)
– Coeficiente k_L a=5\times10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}
Objetivo: tempo para C(t)=0{,}01\,C_0.

Passo 2

Hipótese de controle pela fase líquida: a alta agitação e o difusor fino garantem grande área interfacial e reduzida espessura da película líquida. A resistência ao transporte na fase gasosa (difusão no gás) torna-se muito menor que na fase líquida, justificando usar apenas k_L a para o filme líquido.

Passo 3

Num tanque perfeitamente agitado, o balanço de massa em O_{2} dá a equação diferencial
\frac{dC}{dt} = -\,k_L a\,\bigl(C - C^*\bigr).
Como o gás borbulhado é nitrogênio puro, a concentração de equilíbrio de O_{2} junto à interface é C^*\approx0. Logo
\frac{dC}{dt} = -\,k_L a\,C.

Passo 4

Integramos separando variáveis:
\int_{C_0}^{C(t)}\frac{dC}{C} = -\int_{0}^{t}k_L a\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\frac{C(t)}{C_0} = -\,k_L a\,t.
Para C(t)/C_0 = 0{,}01, temos
\ln(0{,}01) = -\,k_L a\,t \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{\ln(0{,}01)}{k_L a}.

Passo 5

Calculando numericamente:
-\ln(0{,}01) = -(-4{,}6052) = 4{,}6052,
t = \frac{4{,}6052}{5\times10^{-4}\,\mathrm{s^{-1}}} = 9{,}210{,}4\\ \mathrm{s} \approx 153{,}5\\ \mathrm{min} \approx 2{,}56\\ \mathrm{h}.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 2{,}6 horas.

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