Questão 9)

Um glóbulo gelatinoso de 4 mm de diâmetro, contendo inicialmente 10 (gmol de álcool)/(L de gel), é posto numa solução alcoólica a 90 (gmol de álcool)/(L de solução). Calcule a concentração do soluto no centro do gel após uma hora de exposição na solução, conhecendo-se: D_{e f}=7 \cdot 10^{-6} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}, B i_{M}=1 e K_{p}=0,9 (L de solução / \mathrm{L} de gel).
Resposta: 61,83 gmol de álcool / L de gel.

Passo 1

O enunciado descreve difusão de álcool num glóbulo esférico de diâmetro 4,mm (raio R=2,mm), com concentração inicial uniforme em seu interior C_{0}=10,gmol/L de gel, exposto a uma solução externa a C_{\infty}=90,gmol/L de solução. Há resistência ao transporte na interface, dada pelo número de Biot de massa \mathrm{Bi}_{M}=1, e partição de soluto entre solução e gel K_{p}=0{,}9. A difusividade efetiva é D_{\mathrm{ef}}=7\times10^{-6},c m^{2}/s. Queremos C(0,t) após t=1,h. Usaremos a solução em série para difusão num esfera com condição convectiva-partição na superfície.

Passo 2

Definimos os números adimensionais:
– Raio em cm:
R = \frac{4\mbox{ mm}}{2} = 2\mbox{ mm} = 0{,}2\mbox{ cm}.
– Número de Fourier:
\mathrm{Fo} = \frac{D_{\mathrm{ef}}\,t}{R^{2}} = \frac{7\times10^{-6}\times3600}{(0{,}2)^{2}} \approx0{,}63.
– Biot adimensional efetivo (inclui partição):
\mathrm{Bi} = \mathrm{Bi}_{M}\,K_{p} =1\times0{,}9 =0{,}9.

Passo 3

Para uma esfera com condição
\;D_{\mathrm{ef}}\bigl.\partial C/\partial r\bigr|_{r=R} =h_{\mathrm{f}}\bigl(C_{\infty}-C_{\mathrm{surf}}\bigr)
e partição C_{\mathrm{surf}}=K_{p}\,C_{\infty}, a solução adimensional em r=0 é
\theta(0,\mathrm{Fo}) =\frac{C(0,t)-C_{0}}{C_{\mathrm{surf}}-C_{0}} =\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\,\exp\bigl(-\lambda_{n}^{2}\,\mathrm{Fo}\bigr),
onde os autovalores \lambda_{n} satisfazem
\lambda_{n}\,\tan(\lambda_{n})=\mathrm{Bi},
e os coeficientes são
A_{n} =\frac{4\,\sin(\lambda_{n})} {2\,\lambda_{n}+\sin\bigl(2\,\lambda_{n}\bigr)}.

Passo 4

Tomamos só o primeiro termo ( n=1) pois os demais decaem rapidamente. Para \mathrm{Bi}=0,9, a raiz da equação
\lambda\tan\lambda=0,9
é aproximadamente
\lambda_{1}\approx0{,}82.
Então
A_{1} =\frac{4\,\sin(0{,}82)}{2\cdot0{,}82+\sin(1{,}64)} \approx\frac{4\cdot0{,}731}{1{,}64+0{,}997} \approx1{,}11.

Passo 5

O somatório fica
\theta(0,\mathrm{Fo}) \approx A_{1}\,\exp\bigl(-\lambda_{1}^{2}\,\mathrm{Fo}\bigr) =1{,}11\,\exp\bigl(-0{,}82^{2}\times0{,}63\bigr) \approx1{,}11\,e^{-0{,}424} \approx0{,}73.
A concentração na superfície interna do gel é
C_{\mathrm{surf}} =K_{p}\,C_{\infty} =0{,}9\times90 =81\quad\text{(gmol/L de gel).}
Logo, no centro:
C(0,t) = C_{0} + \bigl(C_{\mathrm{surf}}-C_{0}\bigr)\,\theta =10 + (81-10)\times0{,}73 \approx10 + 71\times0{,}73 \approx61{,}8\\ \text{gmol/L de gel.}

Resposta

A concentração no centro do gel após uma hora é aproximadamente
61{,}83\\ \text{gmol de álcool por L de gel.}á

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