Um glóbulo gelatinoso de 4 mm de diâmetro, contendo inicialmente 10 (gmol de álcool)/(L de gel), é posto numa solução alcoólica a 90 (gmol de álcool)/(L de solução). Calcule a concentração do soluto no centro do gel após uma hora de exposição na solução, conhecendo-se: D_{e f}=7 \cdot 10^{-6} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}, B i_{M}=1 e K_{p}=0,9 (L de solução / \mathrm{L} de gel).
Resposta: 61,83 gmol de álcool / L de gel.
Passo 1
O enunciado descreve difusão de álcool num glóbulo esférico de diâmetro 4,mm (raio R=2,mm), com concentração inicial uniforme em seu interior C_{0}=10,gmol/L de gel, exposto a uma solução externa a C_{\infty}=90,gmol/L de solução. Há resistência ao transporte na interface, dada pelo número de Biot de massa \mathrm{Bi}_{M}=1, e partição de soluto entre solução e gel K_{p}=0{,}9. A difusividade efetiva é D_{\mathrm{ef}}=7\times10^{-6},cm^{2}/s. Queremos C(0,t) após t=1,h. Usaremos a solução em série para difusão num esfera com condição convectiva-partição na superfície.
Passo 2
Definimos os números adimensionais:
– Raio em cm:
R = \frac{4\mbox{ mm}}{2} = 2\mbox{ mm} = 0{,}2\mbox{ cm}.
Para uma esfera com condição \;D_{\mathrm{ef}}\bigl.\partial C/\partial r\bigr|_{r=R}
=h_{\mathrm{f}}\bigl(C_{\infty}-C_{\mathrm{surf}}\bigr)
e partição C_{\mathrm{surf}}=K_{p}\,C_{\infty}, a solução adimensional em r=0 é