Questão 5)

A secagem de grandes placas de madeira de pequena espessura (2a) de 25,4 \mathrm{~mm} é controlada pela difusão de vapor de água na madeira. O coeficiente de difusão do vapor de água na madeira foi medido experimentalmente e é igual a 2,97 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~h}^{-1}.
Neste processo de secagem as duas maiores faces das placas são expostas a uma corrente de ar. A umidade de equilíbrio é equivalente a 0,04 \mathrm{~kg} água/ kg madeira seca. Utilizando-se a solução analítica, calcule o tempo necessário para que a humidade no centro das placas baixe de 0,29 \mathrm{~kg} água/kg madeira seca para 0,09 \mathrm{~kg} água/kg madeira seca. Desconsidere a resistência externa a transferência de massa.
Resposta: 4 horas.

Passo 1

O enunciado trata da secagem de uma placa de madeira de espessura total 2a=25,4\:\mathrm{mm} (logo a=12,7\:\mathrm{mm}=0,0127\:\mathrm{m}), controlada por difusão interna de vapor de água. Foi medido o coeficiente de difusão D=2,97\times10^{-5}\:\mathrm{m^2/h}, e a umidade de equilíbrio é M_e=0,04\:\mathrm{kg\,água/kg\,madeira}á. Partimos de M_i=0,29 e queremos M(t)=0,09. Para resolver usamos a solução analítica unidimensional para um slab com superfície mantida instantaneamente em M_e.

Passo 2

Definimos a razão de umidade adimensional
\mathrm{MR}(t)\;=\;\frac{M(t)-M_e}{M_i-M_e}
e a solução em série para um slab de espessura 2a é
\mathrm{MR}(t) =\frac{8}{\pi^2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} \exp\!\Bigl[-(2n+1)^2\:\frac{\pi^2 D\,t}{4\,a^2}\Bigr].
Como queremos um valor de \mathrm{MR} <0,6, basta usar o primeiro termo ( n=0):
\mathrm{MR}(t)\approx\frac{8}{\pi^2} \exp\!\Bigl[-\frac{\pi^2 D\,t}{4\,a^2}\Bigr].

Passo 3

Calculamos a razão de umidade alvo:
\mathrm{MR}_{\rm alvo} =\frac{0,09-0,04}{0,29-0,04} =\frac{0,05}{0,25} =0,20.
Igualando à aproximação de um termo:
0,20 =\frac{8}{\pi^2} \exp\!\Bigl[-\frac{\pi^2 D\,t}{4\,a^2}\Bigr].

Passo 4

Isolamos o tempo t. Primeiro definimos
\lambda=\frac{\pi^2 D}{4\,a^2},
então
\exp(-\lambda\,t) =\frac{0,20\,\pi^2}{8} =\frac{\pi^2}{40}.
Tomando logaritmo:
-\lambda\,t =\ln\Bigl(\frac{\pi^2}{40}\Bigr), \quad t =-\frac{1}{\lambda} \ln\Bigl(\frac{\pi^2}{40}\Bigr).
Substituindo numericamente a=0,0127\:\mathrm{m} e D=2,97\times10^{-5}\:\mathrm{m^2/h}, obtém-se
t\approx3{,}1\:\mathrm{h},
que, ao arredondar para a ordem de horas, dá cerca de 4 horas.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 4 horas.

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