Questão 10)

Pequenas gotas de água são pulverizadas em um gás contendo amônia com uma pressão parcial igual a 2 \times 10-3 \mathrm{~atm}. As gotas possuem 1 mm de diâmetro, e possuem um tempo de residência no equipamento de 15 s. Suponha que a pressão parcial da amônia na fase gasosa permaneça aproximadamente constante e que, como as gotas são suficientemente pequenas, a concentração de amônia na gota é uniforme. Determine a concentração final da amônia na gota.
Dados: k_{G}=1,5 \cdot 10^{-3} \mathrm{~mol} \mathrm{~atm}^{-1} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{~m}^{-2}, constante de Henry igual a 58 \mathrm{~mol} \mathrm{~m}^{-3} \mathrm{atm}^{-1}.

Passo 1

O enunciado diz que pequenas gotas de água de diâmetro 1\:\mathrm{mm} estão em contato com um gás contendo amônia à pressão parcial p_G = 2\times10^{-3}\:\mathrm{atm}. O tempo de residência das gotas é t=15\:\mathrm{s}. A constante de massa de transferência na fase gasosa é k_G=1,5\times10^{-3}\:\mathrm{mol\,atm^{-1}\,s^{-1}\,m^{-2}} e a constante de Henry é H=58\:\mathrm{mol\,m^{-3}\,atm^{-1}}. Queremos a concentração final de amônia na gota, supondo concentração uniforme na fase líquida e p_G constante.

Passo 2

Pela teoria dos dois filmes, o fluxo molar de amônia por área na interface é
N_A \;=\; k_G\,(p_G - p_i)
onde, pela lei de Henry,
p_i=\frac{C}{H}\,.
Fazendo o balanço na gota (volume V, área A), temos
\frac{dC}{dt} \;=\;\frac{A}{V}\,N_A \;=\;\frac{A\,k_G}{V}\Bigl(p_G - \frac{C}{H}\Bigr).

Passo 3

Escrevendo a EDO linear,
\frac{dC}{dt} + \frac{k_G\,A}{V\,H}\,C =\frac{k_G\,A}{V}\,p_G.
A solução com C(0)=0 é
C(t)=C_\infty\Bigl(1-e^{-t/\tau}\Bigr),
onde
C_\infty = H\,p_G, \qquad \tau = \frac{V\,H}{k_G\,A}.

Passo 4

Calculamos o volume e a área da gota (raio r=0,5\times10^{-3}\:\mathrm{m}):
V = \tfrac43\pi r^3 = \tfrac43\pi (5\times10^{-4})^3 \approx 5,236\times10^{-10}\:\mathrm{m^3},
A = 4\pi r^2 = 4\pi(5\times10^{-4})^2 \approx 3,142\times10^{-6}\:\mathrm{m^2}.
Logo,
\frac{k_G\,A}{V} = 1{,}5\times10^{-3}\times\frac{3{,}142\times10^{-6}}{5{,}236\times10^{-10}} \approx 9\:\mathrm{s^{-1}\,atm^{-1}},
\frac{k_G\,A}{V\,H} = \frac{9}{58}\:\mathrm{s^{-1}}\approx0{,}1552\:\mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Temos
C_\infty = H\,p_G = 58\times2\times10^{-3} = 0{,}116\:\mathrm{mol\,m^{-3}},
e o expoente é
-\frac{t}{\tau} = -\frac{k_G\,A}{V\,H}\,t \approx -0{,}1552\times15 = -2{,}328.
Assim,
C(15) = 0{,}116\bigl(1 - e^{-2{,}328}\bigr) \approx 0{,}116\bigl(1 - 0{,}0977\bigr) \approx 0{,}105\:\mathrm{mol\,m^{-3}}.

Resposta

A concentração final de amônia na gota é aproximadamente
0{,}105\:\mathrm{mol\,m^{-3}}.

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