Calcule o tempo necessário para queimar completamente partículas de grafite ( \mathrm{R}_{0}=5 \mathrm{~mm}, densidade =2,2 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3}, \mathrm{k}^{\prime \prime}=20 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} ), em uma corrente com 8 \% de \mathrm{O}_{2}. Para uma velocidade elevada de gás, suponha que a difusão no filme não oferecerá qualquer resistência à transferência e à reação. A temperatura de reação é de 900^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para queimar completamente partículas esféricas de grafite de raio inicial \mathrm{R}_{0}=5\\ \mathrm{mm}, densidade \rho=2{,}2\\ \mathrm{g/cm}^{3}, com taxa cinética de superfície de primeira ordem em oxigênio k''=20\\ \mathrm{cm/s}, num meio com 8\% de \mathrm{O}_{2} a 900{ }^{\circ}\mathrm{C}. Vamos usar o modelo de partícula encolhendo (shrinking core), desprezando resistência difusiva no filme, de modo que a concentração de \mathrm{O}_{2} na superfície da partícula vale a concentração no gás.

Passo 2

A velocidade de reação (mol de \mathrm{O}_{2} consumidos por área e tempo) é proporcional à concentração de \mathrm{O}_{2} na superfície:
r'' = k''\,C_{\mathrm{O}_{2}}
Como a reação global é \mathrm{C} + \mathrm{O}_{2}\to \mathrm{CO}_{2}, cada mol de \mathrm{O}_{2} consumido corresponde a 1 mol de C queimado.

Passo 3

Balanceando massa de carbono na partícula esférica, temos
-\frac{dm}{dt} = r''\cdot 4\pi R^{2}\,M_{C},
onde m=\rho\,(4/3)\pi R^{3} e M_{C}=12\\ \mathrm{g/mol}. Derivando m em relação a R e cancelando 4\pi R^{2}, obtém-se
-\rho\,\frac{dR}{dt} \;=\; M_{C}\,k''\,C_{\mathrm{O}_{2}} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{dR}{dt} = \frac{M_{C}\,k''\,C_{\mathrm{O}_{2}}}{\rho}.

Passo 4

Calcular a concentração de \mathrm{O}_{2} no gás, usando a lei dos gases ideais a T=900{ }^{\circ}\mathrm{C}=1173\\ \mathrm{K}, pressão P=1\\ \mathrm{atm} e fração molar X_{\mathrm{O}_{2}}=0{,}08:
C_{\mathrm{O}_{2}} = X_{\mathrm{O}_{2}}\;\frac{P}{R\,T} = 0{,}08\;\frac{1\\ \mathrm{atm}}{(0{,}08206\\ \mathrm{atm\cdot L/mol\cdot K})\,(1173\\ \mathrm{K})} \approx 8{,}32\times10^{-7}\\ \mathrm{mol/cm^{3}}.

Passo 5

Integrando -dR/dt = \bigl(M_{C}\,k''\,C_{\mathrm{O}_{2}}\bigr)/\rho de R_{0} a zero, o tempo total é
t = \frac{\rho\,R_{0}}{M_{C}\,k''\,C_{\mathrm{O}_{2}}} = \frac{(2{,}2\\ \mathrm{g/cm^{3}})\,(0{,}5\\ \mathrm{cm})} {(12\\ \mathrm{g/mol})\,(20\\ \mathrm{cm/s})\,(8{,}32\times10^{-7}\\ \mathrm{mol/cm^{3}})} \approx 5{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{s}.
Convertendo para horas, 5{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{s}\approx1{,}53\\ \mathrm{h}.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 5{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{s} (ou cerca de 1{,}5 h).

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