O titânio cristaliza com uma célula unitária do tipo cúbica de corpo centrado que apresenta comprimento de aresta de 3,306 Å. A densidade do titânio é de 4,401 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3}. Utilize estas informações para calcular a constante de Avogadro.
(a) Calcule a massa de um átomo de titânio.
(b) Qual a massa atômica do titânio?

Passo 1

O enunciado diz que o titânio cristaliza em rede cúbica de corpo centrado (BCC), com parâmetro de rede a=3{,}306,Å e densidade \rho=4,401,g·cm ^{-3}. Em uma célula unitária BCC temos Z=2 átomos. Vamos usar as relações
V_{\rm célula}=a^3,\quad m_{\rm célula}=\rho\,V_{\rm célula},\quad m_{\rm átomo}=\frac{m_{\rm célula}}{Z},\quad M=m_{\rm átomo}\,N_{\!A},éééáéá
sendo N_{\!A} a constante de Avogadro.

Passo 2

Converter a para centímetros e calcular o volume da célula:
a = 3{,}306\text{ Å} = 3{,}306\times10^{-8}\text{ cm},Å
V_{\rm célula} =\bigl(3{,}306\times10^{-8}\bigr)^3 =3{,}614\times10^{-23}\text{ cm}^3.é

Passo 3

Calcular a massa de uma célula unitária:
m_{\rm célula} =\rho\,V_{\rm célula} =4{,}401\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \times3{,}614\times10^{-23}\text{ cm}^3 =1{,}593\times10^{-22}\text{ g}.éé

Passo 4

Como há Z=2 átomos na célula BCC, a massa de um átomo de titânio é
m_{\rm átomo} =\frac{m_{\rm célula}}{Z} =\frac{1{,}593\times10^{-22}}{2} =7{,}965\times10^{-23}\text{ g}.áé

Passo 5

Para obter a massa atômica M (em g·mol ^{-1}), usamos
M = m_{\rm átomo}\,N_{\!A}.á
Tomando o valor de N_{\!A}=6{,}022\times10^{23},mol ^{-1},
M =7{,}965\times10^{-23}\text{ g}\;\times 6{,}022\times10^{23}\text{ mol}^{-1} \approx48{,}0\;\text{g·mol}^{-1}.

Resposta

(a) m_{\rm átomo}=7{,}97\times10^{-23}á,g
(b) M\approx48{,}0,g·mol ^{-1}

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