Dobrando o tamanho da partícula, de R para 2 R, o tempo para uma conversão completa triplica. Qual a contribuição da difusão na cinza em relação a resistência global, para as partículas de tamanho R e 2 R ?

Passo 1

O enunciado diz que, ao dobrar o raio da partícula de R para 2R, o tempo de conversão completa passa de t(R) para t(2R), com
\frac{t(2R)}{t(R)} = 3.
Estamos no contexto do modelo de núcleo em contração, em que há duas resistências em série:
  1. resistência cinética na superfície (tempo proporcional a R),
  2. resistência por difusão através da camada de cinza (tempo proporcional a R^2).
    Queremos achar, para cada tamanho, a fração da resistência total que cabe à difusão na cinza.

Passo 2

Modelamos o tempo total como soma dos dois termos:
t(R) = t_{\rm cinética} + t_{\rm difusão} = a\,R + b\,R^2,éã
onde a e b são constantes positivas. Então
t(2R) = a\,(2R) + b\,(2R)^2 = 2\,aR + 4\,bR^2.

Passo 3

Usamos a relação experimental
\frac{t(2R)}{t(R)} = \frac{2\,aR + 4\,bR^2}{aR + bR^2} = 3.
Dividindo numerador e denominador por aR e definindo x = \frac{bR}{a}, obtemos
\frac{2 + 4x}{1 + x} = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2 + 4x = 3 + 3x \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Logo bR = a.

Passo 4

Para R:
t(R) = aR + bR^2 = aR + aR = 2\,aR,
e a fração por difusão é
\frac{t_{\rm difusão}}{t_{\rm total}} = \frac{bR^2}{aR + bR^2} = \frac{aR}{2\,aR} = \tfrac12 = 50\%.ã
Para 2R:
t(2R) = 2\,aR + 4\,bR^2 = 2\,aR + 4\,aR = 6\,aR,
e a fração por difusão é
\frac{t_{\rm difusão}}{t_{\rm total}} = \frac{4\,bR^2}{2\,aR + 4\,bR^2} = \frac{4\,aR}{6\,aR} = \tfrac{2}{3}\approx 66{,}7\%.ã

Resposta

Para partículas de raio R, a difusão na cinza contribui com 50 % da resistência global.
Para partículas de raio 2R, a difusão na cinza contribui com aproximadamente 66,7 % da resistência global.

Exercícios relacionados