Calcule o tensor de tensão e as componentes do tensor de tração para o escoamento de mel (fluido incompressível) através de uma colméia cúbica
de aresta unitária. O escoamento tem perfil de velocidade
. A viscosidade dinâmica de cisalhamento do mel é
Pa.s. Calcule a taxa de dissipação de energia do escoamento através de
.
Passo 1
O enunciado nos dá um escoamento incompressível de mel (viscosidade dinâmica
) dentro de um cubo
, com perfil de velocidade
Precisamos:
- O tensor de tensões
(para fluido newtoniano incompressível). - As componentes do vetor de tração
nas faces ortogonais aos eixos. - A taxa de dissipação de energia no volume
:
onde
é o tensor de tensões viscosas e
o tensor de taxa de deformação.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
:
Passo 3
Montar o tensor de taxa de deformação
Logo, seus componentes são
Passo 4
Para fluido newtoniano incompressível temos o tensor de tensões
Como a pressão
não foi fornecida, escrevemos a parte viscosa
. Substituindo
,
Passo 5
O vetor de tração
numa superfície de contorno com normal unitária
é
Para as faces do cubo normais a
,
e
(com
,
e
) obtemos, desprezando a parte
:
Basta substituir
acima e o sinal de
.
Passo 6
A dissipação volumétrica de energia é
Logo a taxa total de dissipação é
Escrevendo
temos finalmente
Resposta
Tensor de tensões viscosas
cujo componentes são
Tração na face normal a
:
, análoga para
e
.
Taxa de dissipação total
Taxa de dissipação total
com
dado acima.