Calcule o tensor de tensão e as componentes do tensor de tração para o escoamento de mel (fluido incompressível) através de uma colméia cúbica V de aresta unitária. O escoamento tem perfil de velocidade v(x, y, z)=(cos (x y z), x y, x y z). A viscosidade dinâmica de cisalhamento do mel é mu=5 Pa.s. Calcule a taxa de dissipação de energia do escoamento através de V.

Passo 1

O enunciado nos dá um escoamento incompressível de mel (viscosidade dinâmica mu=5 Pacdot s) dentro de um cubo V=[0,1]^3, com perfil de velocidade
overrightarrow v(x,y,z)=l(cos(xyz),,xy,,xyzr)
Precisamos:
  1. O tensor de tensões T (para fluido newtoniano incompressível).
  2. As componentes do vetor de tração t nas faces ortogonais aos eixos.
  3. A taxa de dissipação de energia no volume V:
dot E=integralVsigmaijDij,dV,
onde sigmaij é o tensor de tensões viscosas e Dij o tensor de taxa de deformação.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de overrightarrow v:
partialx v1&=partialxcos(xyz)=-yzsin(xyz),& partialy v1&=-xzsin(xyz),& partialz v1&=-xysin(xyz), partialx v2&=y,& partialy v2&=x,& partialz v2&=0, partialx v3&=yz,& partialy v3&=xz,& partialz v3&=xy

Passo 3

Montar o tensor de taxa de deformação
Dij=tfrac12l(partialj vi+partiali vjr)
Logo, seus componentes são
D11&=-,y,zsin(xyz), D22=x, D33=x,y, D12&=D21=tfrac12l(-x zsin(xyz)+yr), D13&=D31=tfrac12l(-x ysin(xyz)+y zr), D23&=D32=tfrac12,x z

Passo 4

Para fluido newtoniano incompressível temos o tensor de tensões
Tij=-p,de<aij+2,mu,Dij
Como a pressão p não foi fornecida, escrevemos a parte viscosa sigmaij=2mu Dij. Substituindo mu=5,
sigma11&=-10,y zsin(xyz),& sigma22&=10,x,& sigma33&=10,x y, sigma12&=sigma21=5l(-x zsin(xyz)+yr),& sigma13&=sigma31=5l(-x ysin(xyz)+y zr),& sigma23&=sigma32=5,x z

Passo 5

O vetor de tração t numa superfície de contorno com normal unitária n é
ti=Tij,nj=-p,ni+sigmaij,nj
Para as faces do cubo normais a x, y e z (com n=(pm1,0,0), (0,pm1,0) e (0,0,pm1)) obtemos, desprezando a parte -p,n:
face x=const:& t=(sigma11,,sigma12,,sigma13)cdot nx, face y=const:& t=(sigma21,,sigma22,,sigma23)cdot ny, face z=const:& t=(sigma31,,sigma32,,sigma33)cdot nz
Basta substituir sigmaij acima e o sinal de nj=pm1.

Passo 6

A dissipação volumétrica de energia é
phi=sigmaijDij=2mu,DijDij
Logo a taxa total de dissipação é
dot E =2muintegral0^1!!integral0^1!!integral0^1 sumi,j=1^3Dij^2 ,dx,dy,dz
Escrevendo
sumi,jDij^2 =y^2z^2sin^2(xyz)+x^2+x^2y^2 +tfrac12l(-xzsin(xyz)+yr)^2 +tfrac12l(-xysin(xyz)+yzr)^2 +tfrac12x^2z^2,
temos finalmente
dot E =10integral0^1!!integral0^1!!integral0^1 l[ y^2z^2sin^2(xyz)+x^2+x^2y^2 +tfrac12l(-xzsin(xyz)+yr)^2 +tfrac12l(-xysin(xyz)+yzr)^2 +tfrac12x^2z^2 r] ,dx,dy,dz

Resposta

Tensor de tensões viscosas
sigmaij=2mu Dij com Dij=tfrac12(partialjvi+partialivj),
cujo componentes são
sigma11&=-10,yzsin(xyz),& sigma22&=10,x,& sigma33&=10,xy, sigma12&=sigma21=5l(-xzsin(xyz)+yr),& sigma13&=sigma31=5l(-xysin(xyz)+yzr),& sigma23&=sigma32=5,xz
Tração na face normal a x: t=(sigma11,sigma12,sigma13)nx, análoga para y e z.
Taxa de dissipação total
dot E =10integral0^1!integral0^1!integral0^1 sumi,jDij^2 ,dx,dy,dz
com sumi,jDij^2 dado acima.

Exercícios relacionados