Seja a equação de Navier-Stokes para o escoamento laminar incompressível de óleo dentro de uma esfera
-nabla times(v times(nabla times v))=etarho0 nabla^2(nabla times v)
onde eta é a viscosidade do óleo e rho0 a densidade. A velocidade é, em coordenadas cilíndricas, o campo vetorial v(rho, theta, z)=rho^2 z^2 rho+z^2 rho^3 theta. Calcule nabla times(v times(nabla times v)) e também nabla^2(nabla times v).

Passo 1

O enunciado pede para o campo de velocidades
overrightarrow v(rho,theta,z)=rho^2z^2,rho+ rho^3z^2,theta
calcular
nablatimesl(overrightarrow vtimes(nablatimesoverrightarrow v)r) e nabla^2l(nablatimesoverrightarrow vr)
O conteúdo principal é o uso da definição de rotacional em coordenadas cilíndricas e do laplaciano vetorial (que para campos sem dependência em theta pode ser obtido componente a componente).

Passo 2

Vamos primeiro achar nablatimesoverrightarrow v. Em coordenadas cilíndricas, com dependência apenas em rho,z, as componentes são
(nablatimes v)rho =1rhol[partialtheta(vz)-partialz(rho,vtheta)r] =-1rho,partialz(rhocdotrho^3z^2) =-2,rho^3z,
(nablatimes v)theta =partialz(vrho)-partialrho(vz) =partialz(rho^2z^2)=2,rho^2z,
(nablatimes v)z =1rhol[partialrho(rho,vtheta)-partialtheta(vrho)r] =1rho,partialrho(rhocdotrho^3z^2) =4,rho^2z^2
Portanto
nablatimesoverrightarrow v =-2,rho^3z,rho +2,rho^2z,theta +4,rho^2z^2,z

Passo 3

Agora overrightarrow vtimes(nablatimesoverrightarrow v). Usando o determinante em base ortonormal cilíndrica:
overrightarrow vtimesomega = hatrho & hattheta & hat z rho^2z^2 & rho^3z^2 & 0 -2rho^3z & 2rho^2z & 4rho^2z^2 ,
resulta em
overrightarrow vtimes(nablatimesoverrightarrow v) =4,rho^5z^4,rho -4,rho^4z^4,theta +2,rho^4z^3(1+rho^2),z

Passo 4

Aplicamos o rotacional novamente a esse resultado. Denotando F=overrightarrow vtimes(nablatimesoverrightarrow v) com componentes
Frho=4rho^5z^4, Ftheta=-4rho^4z^4, Fz=2rho^4z^3(1+rho^2),
temos
(nablatimes F)rho =-1rho,partialz(rho Ftheta) =16,rho^4z^3,
(nablatimes F)theta =partialzFrho-partialrhoFz =4,rho^3z^3(rho^2-2),
(nablatimes F)z =1rho,partialrho(rho Ftheta) =-20,rho^3z^4
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nablatimesl(overrightarrow vtimes(nablatimesoverrightarrow v)r) =16,rho^4z^3,rho +4,rho^3z^3(rho^2-2),theta -20,rho^3z^4,z

Passo 5

Finalmente, para nabla^2(nablatimes v) usamos o laplaciano vetorial em cilindricas sem theta:
(nabla^2A)rho =l[nabla^2,Arhor]-Arhorho^2, (nabla^2A)theta =l[nabla^2,Athetar]-Athetarho^2, (nabla^2A)z =nabla^2,Az,
onde nabla^2f=tfrac1rhopartialrho(rho,partialrhof)+partialz^2f. Para
omega=nablatimes v com omegarho=-2rho^3z, omegatheta=2rho^2z, omegaz=4rho^2z^2, achamos
nabla^2(nablatimesoverrightarrow v) =-16,rho,z,rho +6,z,theta +(16,z^2+8,rho^2),z

Resposta

nablatimesl(overrightarrow vtimes(nablatimesoverrightarrow v)r) =16,rho^4z^3,rho +4,rho^3z^3(rho^2-2),theta -20,rho^3z^4,z,
nabla^2(nablatimesoverrightarrow v) =-16,rho,z,rho +6,z,theta +(16,z^2+8,rho^2),z

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