Seja a equação de Navier-Stokes para o escoamento laminar incompressível de óleo dentro de uma esfera
onde é a viscosidade do óleo e a densidade. A velocidade é, em coordenadas cilíndricas, o campo vetorial . Calcule e também .
Passo 1
O enunciado pede para o campo de velocidades
calcular
O conteúdo principal é o uso da definição de rotacional em coordenadas cilíndricas e do laplaciano vetorial (que para campos sem dependência em pode ser obtido componente a componente).
Passo 2
Vamos primeiro achar . Em coordenadas cilíndricas, com dependência apenas em , as componentes são
Portanto
Passo 3
Agora . Usando o determinante em base ortonormal cilíndrica:
onde nabla^2f=tfrac1rhopartialrho(rho,partialrhof)+partialz^2f. Para omega=nablatimes v com omegarho=-2rho^3z, omegatheta=2rho^2z, omegaz=4rho^2z^2, achamos