Seja A=[ai j] uma matriz 2 times 2. Mostre que
det A=epsiloni j ai 1 aj 2
Suponha agora que A seja uma matriz 3 times 3. Verifique que nesse caso
det A=epsiloni j k ai 1 aj 2 ak 3

Passo 1

Aqui temos um exercício sobre determinantes de matrizes. Precisamos mostrar que, para uma matriz 2 times 2 e uma 3 times 3, o determinante pode ser calculado usando o símbolo de Levi-Civita ( epsilon). Vamos precisar entender como calcular determinantes e como funciona o símbolo de Levi-Civita para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante de uma matriz. Para uma matriz 2 times 2 A = a11 & a12 a21 & a22 , o determinante é dado por:
det A = a11a22 - a12a21
Isso nos ajuda a ver como os elementos da matriz contribuem para o determinante.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o símbolo de Levi-Civita [\epsilon_{ij}) para matrizes . Este símbolo é definido como:
éçãéçãíá
Para e .

Passo 4

Vamos aplicar o símbolo de Levi-Civita para calcular o determinante da matriz 2 times 2. Usamos a soma sobre os índices i e j:
det A = epsilonij ai1 aj2
Isso se expande para:
det A = epsilon12 a11 a22 + epsilon21 a21 a12
Substituindo os valores de epsilonij:
det A = (1) a11 a22 + (-1) a21 a12 = a11a22 - a12a21
Que é exatamente a fórmula do determinante que conhecemos.

Passo 5

Agora, vamos considerar uma matriz 3 times 3 A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 . O determinante para essa matriz envolve o símbolo de Levi-Civita de terceira ordem epsilonijk, onde i, j, k vão de 1 a 3 e obedecem às regras de permutação.

Passo 6

Para a matriz 3 times 3, o determinante é calculado da seguinte forma:
det A = epsilonijk ai1 aj2 ak3
Isso significa que somamos todas as permutações de i, j, k multiplicadas pelos respectivos elementos da matriz, ponderadas pelo símbolo de Levi-Civita.

Resposta

Portanto, mostramos que para uma matriz 2 times 2:
det A = epsilonij ai1 aj2
E para uma matriz 3 times 3:
det A = epsilonijk ai1 aj2 ak3

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