O produto de dois símbolos de Levi-Civita em três dimensões pode ser escrito como o determinante de uma matriz de deltas de Kronecker:
epsiloni j k epsilonl m n=det(ccc de<ai l & de<ai m & de<ai n de<aj l & de<aj m & de<aj n de<ak l & de<ak m & de<ak n )
A partir disso mostre que
a) epsiloni j k epsiloni l m=de<aj l de<ak m-de<aj m de<ak l.
b) epsiloni j k epsiloni j m=2 de<ak m.
c) epsiloni j k epsiloni j k=6.
Obs.: preste atenção na posição dos índices de cada epsilon.

Passo 1

O enunciado dá a identidade em três dimensões
epsiloni j k,epsilonl m n =det de<ai l&de<ai m&de<ai n de<aj l&de<aj m&de<aj n de<ak l&de<ak m&de<ak n
e pede três casos de contração de índices repetidos (soma de Einstein). Vamos usar expansão de determinante pela primeira linha e em seguida realizar as somas sobre os índices repetidos.

Passo 2

Derivação de epsiloni j k,epsiloni l m.
Pela expansão pela primeira linha,
epsiloni j k,epsiloni l m =de<ai i,(de<aj l,de<ak m-de<aj m,de<ak l) -de<ai l,(de<aj i,de<ak m-de<aj m,de<ak i) +de<ai m,(de<aj i,de<ak l-de<aj l,de<ak i)
Agora somamos sobre i:
  1. sumide<ai i=3.
  2. sumide<ai l,de<aj i,de<ak m=de<aj l,de<ak m,
    sumide<ai l,de<aj m,de<ak i=de<aj m,de<ak l.
  3. sumide<ai m,de<aj i,de<ak l=de<aj m,de<ak l,
    sumide<ai m,de<aj l,de<ak i=de<aj l,de<ak m.
    Substituindo:
3(de<aj lde<ak m-de<aj mde<ak l) -(de<aj lde<ak m-de<aj mde<ak l) +(de<aj mde<ak l-de<aj lde<ak m) =de<aj lde<ak m-de<aj mde<ak l
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epsiloni j k,epsiloni l m =de<aj l,de<ak m-de<aj m,de<ak l

Passo 3

Derivação de epsiloni j k,epsiloni j m.
A partir de (a), fazemos l=j e somamos sobre j:
epsiloni j k,epsiloni j m =de<aj j,de<ak m-de<aj m,de<ak j =3,de<ak m-sumjde<aj m,de<aj k =3,de<ak m-de<ak m =2,de<ak m

Passo 4

Derivação de epsiloni j k,epsiloni j k.
Em (b) fazemos m=k e somamos sobre k:
epsiloni j k,epsiloni j k =2,de<ak k =2cdot3 =6

Resposta

a) epsiloni j k,epsiloni l m=de<aj l,de<ak m-de<aj m,de<ak l
b) epsiloni j k,epsiloni j m=2,de<ak m
c) epsiloni j k,epsiloni j k=6

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