1. sumk=0^infty x^2 k+1pi^k

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumk=0^inftyx^2k+1pi^k
O conteúdo usado será a soma de uma série geométrica e a condição de convergência.

Passo 2

Note que
x^2k+1 = x,(x^2)^k,
então a série fica
sumk=0^inftyx^2k+1pi^k = xsumk=0^infty(x^2)^kpi^k = xsumk=0^inftyl(x^2pir)^k

Passo 3

Reconhecemos ali uma série geométrica de razão
a = x^2pi
Sabemos que
sumk=0^inftya^k = 11 - a,
desde que |a|<1.

Passo 4

Aplicando essa fórmula à nossa série, obtemos
xsumk=0^inftyl(x^2pir)^k = xcdot11 - x^2pi = x1 - x^2pi

Passo 5

Simplificando a fração:
x1 - x^2pi = xpi - x^2pi = pi,xpi - x^2

Passo 6

A condição de convergência |a|<1 vira
l|x^2pir|<1 Longrightarrow |x|<raizpi

Resposta

sumk=0^inftyx^2k+1pi^k = pi,xpi - x^2, para |x|<raizpi

Exercícios relacionados