Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (1x^2-raiz[4]x)^18.

Passo 1

Beleza, vamos desenrolar isso juntos. O enunciado pede: “Calcule o termo independente de no desenvolvimento de .”
Conteúdo: Teorema do binômio de Newton.
O que vamos precisar:
  • A fórmula do termo geral na expansão de , que é .
  • Montar o expoente de do termo genérico e achar para qual ele fica zero (termo independente).

Passo 2

Escrevendo o termo geral da expansão de
l(tfrac1x^2 - x^1/4r)^18,
a gente toma Tk+1 ;=; binom18k,l(x^-2r)^18-k,l(-x^1/4r)^k e .
Então o -ésimo termo é

Passo 3

Vamos ver o expoente de l(x^-2r)^18-k = x^-2(18-k) = x^-36 + 2k, l(x^1/4r)^k = x^k/4 nesse termo:
Tk+1 = binom18k,(-1)^k ,x^-36 + 2k + tfrack4
Como tem um sinal -36 + 2k + tfrack4 ;=;-144 + 8k + k4 ;=;-144 + 9k4 do segundo fator, juntando tudo dá
O expoente de é

Passo 4

Pra ficar termo independente, queremos esse expoente igual a zero:
-144 + 9k4 = 0 Longrightarrow -144 + 9k = 0 Longrightarrow 9k = 144 Longrightarrow k = 16

Passo 5

Agora é só calcular o coeficiente correspondente a binom1816,(-1)^16 = binom182,cdot 1 = 18cdot172cdot1 = 153 :

Resposta

O termo independente de na expansão é .

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