Calcule d/y d/x em termos de x e y, onde
y = f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
y + cos(x^2 + y^2) = 4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada de em relação a ( ), onde é uma função de definida implicitamente pela equação . Para resolver isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, que permite encontrar a derivada quando não está isolada.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , então a derivada de será .

Passo 3

Diferenciando o lado esquerdo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de usa a regra da cadeia. Primeiro derivamos a função externa , que é , e depois multiplicamos pela derivada interna .
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
Diferenciando o lado direito:
  • A derivada de é .

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 5

Vamos isolar os termos que contêm :

Passo 6

Fatorando do lado esquerdo:

Resposta

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