Calcule
em termos de
e
, onde
é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
(
), onde
é uma função de
definida implicitamente pela equação
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, que permite encontrar a derivada quando
não está isolada.
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, então a derivada de
será
.
Passo 3
Diferenciando o lado esquerdo:
- A derivada de
é . - A derivada de
usa a regra da cadeia. Primeiro derivamos a função externa , que é , e depois multiplicamos pela derivada interna .
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
Diferenciando o lado direito:
- A derivada de
é .
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 5
Vamos isolar os termos que contêm
:
Passo 6
Fatorando
do lado esquerdo: