Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
{e^n/n}_{n=1}^{infinito}

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência {e^n/n}_{n=1}^{infinito} é convergente ou divergente. Isso envolve a matéria de limites de sequências e crescimento de funções. Para resolver, vamos precisar entender como as funções exponenciais e polinomiais se comportam quando n cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito, ou seja:
Isso nos ajudará a saber se a sequência converge para um número específico (convergente) ou cresce sem limite (divergente).

Passo 3

Sabemos que é uma função exponencial que cresce muito rapidamente conforme n aumenta. Já n no denominador é uma função linear que cresce de forma muito mais lenta comparada à exponencial. Portanto, o numerador está crescendo muito mais rápido que o denominador.

Passo 4

Para formalizar, consideramos que:
Mas, o crescimento de domina o crescimento de n. Isso significa que a razão tende a crescer sem limite conforme n aumenta.

Passo 5

Assim, concluímos que:
O que indica que a sequência não está se aproximando de nenhum valor finito, mas sim aumentando indefinidamente.

Resposta

A sequência {e^n/n}_{n=1}^{infinito} é divergente.

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