Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência
é convergente ou divergente. Isso envolve a matéria de limites de sequências e crescimento de funções. Para resolver, vamos precisar entender como as funções exponenciais e polinomiais se comportam quando
cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito, ou seja:
Isso nos ajudará a saber se a sequência converge para um número específico (convergente) ou cresce sem limite (divergente).
Passo 3
Sabemos que
é uma função exponencial que cresce muito rapidamente conforme
aumenta. Já
no denominador é uma função linear que cresce de forma muito mais lenta comparada à exponencial. Portanto, o numerador está crescendo muito mais rápido que o denominador.
Passo 4
Para formalizar, consideramos que:
Mas, o crescimento de
domina o crescimento de
. Isso significa que a razão
tende a crescer sem limite conforme
aumenta.
Passo 5
Assim, concluímos que:
O que indica que a sequência não está se aproximando de nenhum valor finito, mas sim aumentando indefinidamente.
Resposta
A sequência
é divergente.