(*) Suponha que você coloque uma molécula de ar sobre sua mesa, de modo que ambas estejam em equilíbrio térmico à temperatura ambiente. Suponha que não haja atmosfera para impedir o movimento dessa única molécula ao pular para cima e para baixo acima da mesa. Calcule a altura típica da molécula de ar acima da sua mesa, para a qual
.
Passo 1
O enunciado pede para estimar a altura típica
acima da mesa para a qual a energia potencial gravitacional de uma molécula de ar é da ordem da energia térmica, isto é
. Informações e escolhas que eu vou usar (tudo vindo do enunciado ou escolhas naturais para “temperatura ambiente” e composição do ar):
- Queremos
tal que - Temperatura ambiente: vou usar
(aproximação usual). - Aceleração da gravidade:
. - Constante de Boltzmann:
. - Massa de uma molécula de ar: vou aproximar o ar por uma mistura cuja massa molar média é
(aproximação padrão) e usar o número de Avogadro para obter a massa de uma molécula - A pergunta final é calcular numericamente
e interpretar o resultado.
Passo 2
Entendendo a equação física: a expressão
é a energia potencial gravitacional de uma partícula de massa
quando elevada a uma altura
(em relação à referência). A expressão
é a ordem de grandeza da energia térmica disponível para cada grau de liberdade de uma partícula à temperatura
. A ideia do enunciado é achar a altura típica
tal que essas energias sejam comparáveis:
Isolando
obtemos a fórmula usada para o cálculo:
Aqui explico cada símbolo:
-
é a constante de Boltzmann (energia térmica por kelvin para uma partícula). -
é a temperatura absoluta em kelvin. -
é a massa da molécula (em kg). -
é a aceleração da gravidade (em ). -
fica em metros.
Passo 3
Calcular a massa de uma molécula de ar
. Partimos da massa molar média
e dividimos pelo número de Avogadro
:
Faço a conta aproximada passo a passo:
e juntando as potências de dez
Arredondando com notação conveniente:
Passo 4
Calcular a energia térmica
numericamente:
Expliquei: multiplica-se a constante de Boltzmann pela temperatura para obter a energia térmica típica por partícula.
Passo 5
Calcular o produto
(que tem unidades de força, N):
Passo a passo:
e ajustando a potência de dez dá
.
Passo 6
Agora usamos a fórmula de
:
Faço a divisão:
e as potências de dez dão
, logo
Arredondando para duas cifras significativas:
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: o resultado significa que a energia térmica típica a
é suficiente para elevar isoladamente uma molécula de ar por ordens de grandeza de quilômetros — essa é exatamente a escala de altura da atmosfera (a chamada “altura de escala” atmosférica fica na casa dos 7–9 km). Isso faz sentido físico e mostra que a estimativa simples
já capta a ordem de grandeza correta. Vai com calma — essa conta é um bom exemplo de estimate rápido que você pode usar na prova.