(*) Suponha que você coloque uma molécula de ar sobre sua mesa, de modo que ambas estejam em equilíbrio térmico à temperatura ambiente. Suponha que não haja atmosfera para impedir o movimento dessa única molécula ao pular para cima e para baixo acima da mesa. Calcule a altura típica da molécula de ar acima da sua mesa, para a qual M g y \approx k_{B} T.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a altura típica y acima da mesa para a qual a energia potencial gravitacional de uma molécula de ar é da ordem da energia térmica, isto é \;M g y \approx k_{B} T\;. Informações e escolhas que eu vou usar (tudo vindo do enunciado ou escolhas naturais para “temperatura ambiente” e composição do ar):
  • Queremos y tal que \;M g y \approx k_{B} T\;.
  • Temperatura ambiente: vou usar \;T = 300\\ \mathrm{K}\; (aproximação usual).
  • Aceleração da gravidade: \;g = 9,8\\ \mathrm{m\,s^{-2}}\;.
  • Constante de Boltzmann: \;k_{B} = 1,38\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}\;.
  • Massa de uma molécula de ar: vou aproximar o ar por uma mistura cuja massa molar média é \;M_m = 29\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}\; (aproximação padrão) e usar o número de Avogadro \;N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}\; para obter a massa de uma molécula \;M = M_m/N_A\;.
  • A pergunta final é calcular numericamente y e interpretar o resultado.

Passo 2

Entendendo a equação física: a expressão \;M g y\; é a energia potencial gravitacional de uma partícula de massa \;M\; quando elevada a uma altura \;y\; (em relação à referência). A expressão \;k_B T\; é a ordem de grandeza da energia térmica disponível para cada grau de liberdade de uma partícula à temperatura \;T\;. A ideia do enunciado é achar a altura típica \;y\; tal que essas energias sejam comparáveis:
M g y \approx k_B T.
Isolando \;y\; obtemos a fórmula usada para o cálculo:
y \approx \frac{k_B T}{M g}.
Aqui explico cada símbolo:
  • \;k_B\; é a constante de Boltzmann (energia térmica por kelvin para uma partícula).
  • \;T\; é a temperatura absoluta em kelvin.
  • \;M\; é a massa da molécula (em kg).
  • \;g\; é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m\,s^{-2}}).
  • \;y\; fica em metros.

Passo 3

Calcular a massa de uma molécula de ar \;M\;. Partimos da massa molar média \;M_m = 29\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}\; e dividimos pelo número de Avogadro \;N_A\;:
M = \frac{M_m}{N_A} = \frac{29\times10^{-3}}{6,022\times10^{23}}\\ \mathrm{kg}.
Faço a conta aproximada passo a passo:
\frac{29}{6,022} \approx 4,815,
e juntando as potências de dez
M \approx 4,815\times10^{-3-23}\\ \mathrm{kg} = 4,815\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Arredondando com notação conveniente:
M \approx 4,81\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular a energia térmica \;k_B T\; numericamente:
k_B T = (1,38\times10^{-23})\times 300 = 4,14\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Expliquei: multiplica-se a constante de Boltzmann pela temperatura para obter a energia térmica típica por partícula.

Passo 5

Calcular o produto \;M g\; (que tem unidades de força, N):
M g \approx (4,81\times10^{-26})\times 9,8 = 4,71\times10^{-25}\\ \mathrm{N}.
Passo a passo: 4,81\times9,8 \approx 47,1 e ajustando a potência de dez dá 4,71\times10^{-25}.

Passo 6

Agora usamos a fórmula de \;y\;:
y \approx \frac{k_B T}{M g} \approx \frac{4,14\times10^{-21}}{4,71\times10^{-25}}.
Faço a divisão:
\frac{4,14}{4,71} \approx 0,879,
e as potências de dez dão 10^{4}, logo
y \approx 0,879\times10^{4}\\ \mathrm{m} = 8,79\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
Arredondando para duas cifras significativas:
y \approx 8,8\times10^{3}\\ \mathrm{m} \approx 8,8\\ \mathrm{km}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o resultado significa que a energia térmica típica a 300\\ \mathrm{K} é suficiente para elevar isoladamente uma molécula de ar por ordens de grandeza de quilômetros — essa é exatamente a escala de altura da atmosfera (a chamada “altura de escala” atmosférica fica na casa dos 7–9 km). Isso faz sentido físico e mostra que a estimativa simples \;M g y \sim k_B T\; já capta a ordem de grandeza correta. Vai com calma — essa conta é um bom exemplo de estimate rápido que você pode usar na prova.

Resposta

\;y \approx 8,8\times10^{3}\\ \mathrm{m} \approx 8,8\\ \mathrm{km}

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