Calcule todas as classes laterais distintas do subgrupo H=I, alpha, alpha^2 de S3= I, alpha, alpha^2, beta, beta alpha, beta alpha^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as classes laterais (cosets) distintas do subgrupo
H = I,alpha,alpha^2
no grupo
S3 = I,alpha,alpha^2,beta,betaalpha,betaalpha^2
Aqui o conteúdo é teoria de grupos finitos e cosets. Vamos usar que o índice [S3 : H] = |S3|/|H| = 6/3 = 2, logo só há duas classes laterais à esquerda.

Passo 2

A primeira classe lateral é I H. Como I é a identidade, temos
I H = Icdot I,;Icdot alpha,;Icdot alpha^2 = I,alpha,alpha^2 = H

Passo 3

Para achar a outra classe lateral, basta escolher um elemento fora de H, por exemplo beta. Então
beta H = betacdot I,;betacdot alpha,;betacdot alpha^2 = beta,;betaalpha,;betaalpha^2
Como betanotin H, esta classe é distinta de H.

Passo 4

Verificamos que não há mais cosets distintos: qualquer elemento de beta H gera a mesma classe beta H. Logo as duas únicas classes laterais são
H e beta H

Resposta

As classes laterais distintas de H em S3 são
I,alpha,alpha^2 e beta,betaalpha,betaalpha^2

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