Seja T uma transformação linear de M2,2 em R^3, dada pela regra T([lla & b c & d])=(a, c, b-d).
Sobre esta transformaçảo, podemos afirmar:
Té injetora, mas não é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Tcolon M2,2toR^3
por
Tl(a & b c & dr) = (a,;c,;b-d)
Queremos analisar se T é injetora (kernel trivial) e se é sobrejetora (imagem é todo R^3). Para isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity).

Passo 2

Determinamos o núcleo de T resolvendo
Tl(a & b c & dr) = (0,0,0)
Isto gera o sistema
a=0, c=0, b-d=0;Longrightarrow;d=b
Logo os matrizes do núcleo são
0 & b 0 & b = b,0 & 1 0 & 1,
ou seja, diml(ker Tr)=1. Como o kernel não é trivial, T não é injetora.

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos
dim(dom) = dim(ker T) + dim(Im,T)
Aqui dim(dom)=dim(M2,2)=4 e dim(ker T)=1, então
dim(Im,T)=4-1=3
Como R^3 também tem dimensão 3, a imagem de T é todo R^3. Logo, T é sobrejetora.

Passo 4

A afirmação “ T é injetora, mas não é sobrejetora” é exatamente o contrário do que encontramos. Concluímos:

Resposta

Falso. Na verdade, T não é injetora (kernel de dimensão 1) e é sobrejetora ( dim(Im,T)=3, preenchendo R^3).

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