Seja T uma transformação linear de em , dada pela regra .
Sobre esta transformaçảo, podemos afirmar:
Té injetora, mas não é sobrejetora.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
por
Queremos analisar se é injetora (kernel trivial) e se é sobrejetora (imagem é todo ). Para isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity).
Passo 2
Determinamos o núcleo de resolvendo
Isto gera o sistema
Logo os matrizes do núcleo são
ou seja, diml(ker Tr)=1. Como o kernel não é trivial, T não é injetora.
Passo 3
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos
dim(dom) = dim(ker T) + dim(Im,T)
Aqui dim(dom)=dim(M2,2)=4 e dim(ker T)=1, então
dim(Im,T)=4-1=3
Como R^3 também tem dimensão 3, a imagem de T é todo R^3. Logo, T é sobrejetora.
Passo 4
A afirmação “T é injetora, mas não é sobrejetora” é exatamente o contrário do que encontramos. Concluímos:
Resposta
Falso. Na verdade, Tnão é injetora (kernel de dimensão 1) e é sobrejetora (dim(Im,T)=3, preenchendo R^3).