Mostre que
e, portanto,
. Conclua que
é um grupo não abeliano.
Passo 1
O enunciado trata do grupo diédrico
, que é o grupo das simetrias de um triângulo equilátero. Ele é gerado por
, uma rotação de
no sentido anti–horário, e por
, uma reflexão em um eixo que fixa o vértice 1 e troca os vértices 2 e 3.
Queremos mostrar a relação
Queremos mostrar a relação
e, em particular, que
, o que implica que
não é abeliano.
Passo 2
Identifiquemos as ações de
e
sobre os vértices
via permutações:
Passo 3
Calculemos
. Por definição, em
primeiro aplicamos
e depois
. Para cada
:
Logo a composição é a transposição
. Portanto
Passo 4
Agora calculemos
. Primeiro aplicamos
e depois
. Para cada
:
O que dá também
. Assim
Passo 5
Das contas temos
mostrando a relação desejada. Por outro lado, se tentássemos comparar
com
, veríamos que
logo
.
Passo 6
Como há pelo menos um par de elementos que não comutam em
, concluímos que
é um grupo não abeliano.
Resposta
Mostramos que
portanto
não é abeliano.