Mostre que R F=F R^2 e, portanto, R F neq F R. Conclua que D3 é um grupo não abeliano.

Passo 1

O enunciado trata do grupo diédrico D3, que é o grupo das simetrias de um triângulo equilátero. Ele é gerado por
;R, uma rotação de 120^circ no sentido anti–horário, e por
;F, uma reflexão em um eixo que fixa o vértice 1 e troca os vértices 2 e 3.
Queremos mostrar a relação
R,F ;=;F,R^2
e, em particular, que R,Fneq F,R, o que implica que D3 não é abeliano.

Passo 2

Identifiquemos as ações de R e F sobre os vértices 1,2,3 via permutações:
R=(1;2;3), F=(2;3), R^2=(1;3;2)

Passo 3

Calculemos R,F. Por definição, em R,F primeiro aplicamos F e depois R. Para cada xin1,2,3:
x=1 &:&& F(1)=1, R(1)=2 &&Longrightarrow 1mapsto2, x=2 &:&& F(2)=3, R(3)=1 &&Longrightarrow 2mapsto1, x=3 &:&& F(3)=2, R(2)=3 &&Longrightarrow 3mapsto3
Logo a composição é a transposição (1;2). Portanto
R,F=(1;2)

Passo 4

Agora calculemos F,R^2. Primeiro aplicamos R^2 e depois F. Para cada xin1,2,3:
x=1 &:&& R^2(1)=3, F(3)=2 &&Longrightarrow 1mapsto2, x=2 &:&& R^2(2)=1, F(1)=1 &&Longrightarrow 2mapsto1, x=3 &:&& R^2(3)=2, F(2)=3 &&Longrightarrow 3mapsto3
O que dá também (1;2). Assim
F,R^2=(1;2)

Passo 5

Das contas temos
R,F=(1;2)=F,R^2,
mostrando a relação desejada. Por outro lado, se tentássemos comparar R,F com F,R, veríamos que
F,R=(1;3)neq(1;2)=R,F,
logo R,Fneq F,R.

Passo 6

Como há pelo menos um par de elementos que não comutam em D3, concluímos que D3 é um grupo não abeliano.

Resposta

Mostramos que
R,F=F,R^2e R,Fneq F,R,
portanto D3 não é abeliano.

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