Prove que
, o conjunto dos números racionais munido da operação de adição, é um grupo abeliano de ordem infinita.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o par
satisfaz todos os axiomas de grupo abeliano e que o conjunto
é infinito. O conteúdo envolvido é teoria de grupos e contagem de elementos. Vamos verificar: 1) fechamento e associatividade; 2) existência de elemento neutro e de inversos; 3) comutatividade; 4) infinitude de
.
Passo 2
Verificamos fechamento e associatividade.
– Fechamento: dados com
,
– Fechamento: dados
Como
e
, o resultado está em
.
– Associatividade: a soma de racionais herda a associatividade da soma de inteiros. Para quaisquer ,
– Associatividade: a soma de racionais herda a associatividade da soma de inteiros. Para quaisquer
Passo 3
Mostramos existência de elemento neutro e de inversos.
– Neutro: o elemento satisfaz
– Neutro: o elemento
para todo
.
– Inversos: dado , escreva
. Então
e
– Inversos: dado
Passo 4
Verificamos a comutatividade. Para quaisquer
,
pois a soma de inteiros é comutativa, e isso se transfere à soma de frações.
Passo 5
Mostramos que
é infinito. Considere a família
. Todos os
são distintos entre si, logo há infinitos elementos em
.
Resposta
Portanto,
é um grupo abeliano (fecha, é associativo, tem neutro, inversos e é comutativo) e possui ordem infinita.