Prove que lang<=Q,+rang<=, o conjunto dos números racionais munido da operação de adição, é um grupo abeliano de ordem infinita.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o par lang<= Q,+rang<= satisfaz todos os axiomas de grupo abeliano e que o conjunto Q é infinito. O conteúdo envolvido é teoria de grupos e contagem de elementos. Vamos verificar: 1) fechamento e associatividade; 2) existência de elemento neutro e de inversos; 3) comutatividade; 4) infinitude de Q.

Passo 2

Verificamos fechamento e associatividade.
– Fechamento: dados tfracab,tfraccdinQ com b,dneq0,
tfracab + tfraccd = tfracad + bcbd
Como ad+bcinZ e bdinZsetminus0, o resultado está em Q.
– Associatividade: a soma de racionais herda a associatividade da soma de inteiros. Para quaisquer x,y,zinQ,
(x+y)+z = x+(y+z)

Passo 3

Mostramos existência de elemento neutro e de inversos.
– Neutro: o elemento 0inQ satisfaz
x+0 = x = 0+x
para todo xinQ.
– Inversos: dado xinQ, escreva x=tfracab. Então -x = -tfracabinQ e
x + (-x) = 0 = (-x) + x

Passo 4

Verificamos a comutatividade. Para quaisquer x,yinQ,
x+y = y+x,
pois a soma de inteiros é comutativa, e isso se transfere à soma de frações.

Passo 5

Mostramos que Q é infinito. Considere a família tfrac1nmid ninN,,n>=1. Todos os tfrac1n são distintos entre si, logo há infinitos elementos em Q.

Resposta

Portanto, lang<= Q,+rang<= é um grupo abeliano (fecha, é associativo, tem neutro, inversos e é comutativo) e possui ordem infinita.

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