Calcule todas as derivadas distintas de ordem 3 da função f(x, y)= x^3+6 x^2 y^4+7 x y^5+10 x^3 y

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de terceira ordem de
f(x,y) = x^3 + 6x^2y^4 + 7xy^5 + 10x^3y
O conteúdo envolvido é diferenciação parcial de funções de duas variáveis e uso da simetria das derivadas mistas (teorema de Clairaut).

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem:
Para fx, derivamos em relação a x:
fx = partial fpartial x = 3x^2 + 12x,y^4 + 7y^5 + 30x^2y
Para fy, derivamos em relação a y:
fy = partial fpartial y = 24x^2,y^3 + 35x,y^4 + 10x^3

Passo 3

Agora as derivadas de segunda ordem:
Derivando fx em relação a x e a y, e fy em relação a y:
fxx = partialpartial x(fx) = 6x + 12y^4 + 60x,y,
fxy = partialpartial y(fx) = 48x,y^3 + 35y^4 + 30x^2,
fyy = partialpartial y(fy) = 72x^2,y^2 + 140x,y^3

Passo 4

Por fim, derivamos essas segundas derivadas para obter as de terceira ordem. Usamos ainda a igualdade fxxy=fxyx=fyxx e fxyy=fyyx=fyxy:
Derivando fxx em relação a x:
fxxx = partialpartial x(fxx) = 6 + 60y
Derivando fxx em relação a y:
fxxy = partialpartial y(fxx) = 48y^3 + 60x
Derivando fxy em relação a y:
fxyy = partialpartial y(fxy) = 144x,y^2 + 140y^3
Derivando fyy em relação a y:
fyyy = partialpartial y(fyy) = 144x^2,y + 420x,y^2

Resposta

fxxx = 6 + 60y
fxxy = 48y^3 + 60x
fxyy = 144x,y^2 + 140y^3
fyyy = 144x^2,y + 420x,y^2

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