Calcule todas as derivadas distintas de ordem 3 da função
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de terceira ordem de
O conteúdo envolvido é diferenciação parcial de funções de duas variáveis e uso da simetria das derivadas mistas (teorema de Clairaut).
Passo 2
Calculamos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem:
Para
, derivamos em relação a
:
Para
, derivamos em relação a
:
Passo 3
Agora as derivadas de segunda ordem:
Derivando
em relação a
e a
, e
em relação a
:
Passo 4
Por fim, derivamos essas segundas derivadas para obter as de terceira ordem. Usamos ainda a igualdade
e
:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
: