Seja f(x, y)=x^2 c e^-y / 4 x. Determinar um valor para c tal que f satisfaz a seguinte equação:
partial fpartial x(x, y)=4 partialpartial y(y partial fpartial y(x, y))

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=x^2ce^-y/(4x)
e pede um valor de c tal que
partial fpartial x(x,y) =4,partialpartial y!l(y,partial fpartial y(x,y)r)
Para resolver, vamos calcular separadamente partial f/partial x e 4,partialy(y,partialy f), e então igualar e isolar c.

Passo 2

Calculemos partial f/partial x. Usando a regra do produto em x^2ccdot e^-y/(4x) e a regra da cadeia no expoente, obtemos
partial fpartial x =2c,x^2c-1e^-y/(4x) +x^2c,e^-y/(4x)cdotddxl(-y4xr)
Como
ddxl(-y4xr) =-ycdotddxl(14xr) =-yl(-14x^2r) =y4x^2,
segue
partial fpartial x =2c,x^2c-1e^-y/(4x) +y4x^2c-2e^-y/(4x)

Passo 3

Agora partial f/partial y. Como x é constante em relação a y,
partial fpartial y =x^2c,e^-y/(4x)cdotddyl(-y4xr) =-14xx^2ce^-y/(4x) =-14x^2c-1e^-y/(4x)
Então
ypartial fpartial y =-y4x^2c-1e^-y/(4x)
Derivando em y e multiplicando por 4:
4partialpartial y!l(ypartial fpartial yr) =4l[ -14x^2c-1e^-y/(4x) +l(-y4x^2c-1r)cdotl(-tfrac14xr)e^-y/(4x) r] =-x^2c-1e^-y/(4x) +y4x^2c-2e^-y/(4x)

Passo 4

Igualando as duas expressões obtidas:
2c,x^2c-1e^-y/(4x) +y4x^2c-2e^-y/(4x) ;=; -,x^2c-1e^-y/(4x) +y4x^2c-2e^-y/(4x)
Cancelam-se o fator comum e^-y/(4x)x^2c-2 e o termo tfracy4, sobrando
2c,x = -,x Longrightarrow 2c=-1 Longrightarrow c=-tfrac12

Resposta

c=-tfrac12

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