verifique que a função f(x, y)=(x+y) /(x^2+y^2) satisfaz a equação partial^2 f(x, y) / partial x^2+partial^2 f(x, y) / partial y^2=0.

Passo 1

Vamos verificar se a função f(x, y) = x + yx^2 + y^2 satisfaz a equação partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0. Para isso, precisaremos calcular as segundas derivadas parciais de f em relação a x e y e somá-las. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de f em relação a x . Usaremos a regra do quociente:
partial fpartial x = (1)(x^2 + y^2) - (x + y)(2x)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x(x + y)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 - 2xy + y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial^2 fpartial x^2. Derivando partial fpartial x em relação a x :
partial^2 fpartial x^2 = -2x - 2y(x^2 + y^2)^2 + 2(x^2 + y^2)(2x)(x^2 + y^2)^3 = -2x - 2y(x^2 + y^2)^2 + 4x(x^2 + y^2)^2 = 2x - 2y(x^2 + y^2)^2

Passo 4

De forma similar, vamos calcular a primeira derivada parcial de f em relação a y :
partial fpartial y = (1)(x^2 + y^2) - (x + y)(2y)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2y(x + y)(x^2 + y^2)^2 = x^2 - 2xy - y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial^2 fpartial y^2. Derivando partial fpartial y em relação a y :
partial^2 fpartial y^2 = -2x - 2y(x^2 + y^2)^2 + 2(x^2 + y^2)(2y)(x^2 + y^2)^3 = -2x - 2y(x^2 + y^2)^2 + 4y(x^2 + y^2)^2 = -2x + 2y(x^2 + y^2)^2

Passo 6

Agora, somamos as segundas derivadas parciais:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 2x - 2y(x^2 + y^2)^2 + -2x + 2y(x^2 + y^2)^2 = 0(x^2 + y^2)^2 = 0

Resposta

A função f(x, y) = x + yx^2 + y^2 satisfaz a equação partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0.

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