Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
an=(3^1n-4)(3^n+1n-1)

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = 3^1n - 43^n+1n - 1
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar seu limite. O conteúdo aqui é limites de sequências envolvendo potências, e vamos usar que 3^1/nto1 quando ntoinfty e manipular a expressão para obter o resultado.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a potência no denominador:
3^n+1n = 3^1 + 1n = 3 cdot 3^1n
Logo a sequência pode ser reescrita como
an = 3^1n - 43 cdot 3^1n - 1

Passo 3

Definimos xn = 3^1/n. Sabemos que, para qualquer base fixa maior que zero,
limntoinfty3^1n = 1,
pois o expoente tfrac1n vai a zero.

Passo 4

Usando o limite de xn, avaliamos numerador e denominador separadamente:
limntoinftyl(3^1n - 4r) = 1 - 4 = -3,
limntoinftyl(3 cdot 3^1n - 1r) = 3cdot1 - 1 = 2

Passo 5

Como o numerador e o denominador tendem a constantes, com o denominador não nulo, pelo limite do quociente temos
limntoinftyan = -32

Resposta

A sequência converge e seu limite é -tfrac32.

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