Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar seu limite. O conteúdo aqui é limites de sequências envolvendo potências, e vamos usar que
quando
e manipular a expressão para obter o resultado.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a potência no denominador:
Logo a sequência pode ser reescrita como
Passo 3
Definimos
. Sabemos que, para qualquer base fixa maior que zero,
pois o expoente
vai a zero.
Passo 4
Usando o limite de
, avaliamos numerador e denominador separadamente:
Passo 5
Como o numerador e o denominador tendem a constantes, com o denominador não nulo, pelo limite do quociente temos
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.