Calcule todas as derivadas parciais até segunda ordem das funçães:
g(x, y)=e^x^2-y^2+sin (x y^2)+cos (x^2-y);

Passo 1

Temos a função alvo g(x,y)=e^x^2-y^2+sin(xy^2)+cos(x^2-y). O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais até segunda ordem, e vamos precisar usar a regra da cadeia e, quando aparecer produto, a regra do produto.

Passo 2

Para a derivada parcial em relação a x, derivamos cada termo em g mantendo y constante e aplicando cadeia e produto. O resultado é:
gx=2x e^x^2-y^2+y^2cos(xy^2)-2xsin(x^2-y)

Passo 3

Para a derivada parcial em relação a y, derivamos cada termo em g mantendo x constante. Usamos cadeia e produto quando necessário. O resultado é:
gy=-2y e^x^2-y^2+2xycos(xy^2)+sin(x^2-y)

Passo 4

Agora, para gxx=partialpartial x(gx), derivamos
gx=2x e^x^2-y^2+y^2cos(xy^2)-2xsin(x^2-y) em relação a x termo a termo, obtendo:
gxx=2(1+2x^2)e^x^2-y^2-y^4sin(xy^2)-2sin(x^2-y)-4x^2cos(x^2-y)

Passo 5

Para gxy=partialpartial y(gx), derivamos
gx=2x e^x^2-y^2+y^2cos(xy^2)-2xsin(x^2-y) em relação a y, dando:
gxy=-4xy e^x^2-y^2+2ycos(xy^2)-2xy^3sin(xy^2)+2xcos(x^2-y)

Passo 6

Finalmente, para gyy=partialpartial y(gy), derivamos
gy=-2y e^x^2-y^2+2xycos(xy^2)+sin(x^2-y) em relação a y, resultando em:
gyy=(4y^2-2)e^x^2-y^2+2xcos(xy^2)-4x^2y^2sin(xy^2)-cos(x^2-y)

Resposta

As derivadas parciais até segunda ordem são:
gx=2x e^x^2-y^2+y^2cos(xy^2)-2xsin(x^2-y)
gy=-2y e^x^2-y^2+2xycos(xy^2)+sin(x^2-y)
gxx=2(1+2x^2)e^x^2-y^2-y^4sin(xy^2)-2sin(x^2-y)-4x^2cos(x^2-y)
gxy=-4xy e^x^2-y^2+2ycos(xy^2)-2xy^3sin(xy^2)+2xcos(x^2-y)
gyy=(4y^2-2)e^x^2-y^2+2xcos(xy^2)-4x^2y^2sin(xy^2)-cos(x^2-y)

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