Como ficam os teoremas do valor médio e de Taylor para funções de várias variáveis? Dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pede para apresentar os teoremas do valor médio e de Taylor no contexto de funções de várias variáveis, e em seguida dar exemplos ilustrativos. O conteúdo envolve diferencial de funções vetoriais (gradiente e Jacobiano) e expansão em série de Taylor com resto. Vamos usar derivadas parciais, gradiente, matriz Jacobiana e Hessiana.
Passo 2
O Teorema do Valor Médio em ℝⁿ diz o seguinte: seja U⊆ℝⁿ um conjunto aberto e convexo e f:U→ℝᵐ uma função de classe C¹ (ou seja, derivável com derivadas contínuas). Então, para quaisquer pontos a,b∈U existe um ponto c que pertence ao segmento que liga a e b (isto é, c = a + t(b–a) para algum t∈(0,1)) tal que
onde Df© é a matriz Jacobiana de f em c.
Passo 3
Exemplo do Teorema do Valor Médio: tome f:ℝ²→ℝ dada por f(x,y)=x²+y². Seja a=(x₀,y₀) e b=(x₀+h,y₀+k). Então f(b)–f(a) = ( (x₀+h)²+(y₀+k)² ) – (x₀²+y₀² ) = 2x₀h+2y₀k + h²+k². Por outro lado, ∇f(x,y) = (2x,2y) e o MVM garante um c=(x₀+αh,y₀+αk) com α∈(0,1) tal que
que de fato dá 2x₀h+2y₀k +2α(h²+k²), e escolhendo α=(h²+k²)/(2(h²+k²))=1/2 recupera o termo quadrático.
Passo 4
O Teorema de Taylor em ℝⁿ com resto na forma de Lagrange (até segunda ordem) afirma que, para f de classe C² em um aberto convexo contendo a e a+h,
para algum θ∈(0,1). Aqui Df(a) é a linha de derivadas parciais em a e D²f é a matriz Hessiana.
Passo 5
Exemplo de Taylor: considere f(x,y)=e^{x+y} em torno de a=(0,0). Temos f(0,0)=1, ∇f=(e{x+y},e{x+y}), D²f é a matriz com todas as entradas iguais a e^{x+y}. Então até segunda ordem:
e o resto R₂(x,y)=\tfrac12 ,(x,y),D2f(θ(x,y)),(x,y)T - \tfrac12 (x+y)^2, mas usualmente escrevemos apenas a expansão principal.
Resposta
Em ℝⁿ, o Teorema do Valor Médio diz que para f:U⊆ℝⁿ→ℝᵐ de classe C¹ e a,b∈U existe c no segmento [a,b] tal que
Exemplo: para f(x,y)=x²+y² entre (x₀,y₀) e (x₀+h,y₀+k) obtemos f(b)–f(a)=∇f©·(h,k).
O Teorema de Taylor até 2ª ordem em ℝⁿ é
para algum θ∈(0,1). Exemplo: para f(x,y)=e^{x+y} em torno de (0,0) obtemos