Calcule todas as derivadas parciais até segunda ordem das funçães:
f(x, y)=4 x^5 y^4-6 x^2 y+3;

Passo 1

Estamos buscando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x,y)=4 x^5 y^4 - 6 x^2 y + 3. Esse problema envolve diferenciação parcial, onde aplicamos a regra do poder (power rule) tratando sempre uma variável como constante enquanto diferenciamos em relação à outra.

Passo 2

Para obter partial fpartial x, fixamos y e usamos a regra do poder: a derivada de 4 x^5 y^4 em relação a x é 20 x^4 y^4 e de -6 x^2 y é -12 x y, enquanto a constante 3 some. Logo:
partial fpartial x = 20 x^4 y^4 - 12 x y

Passo 3

Para partial fpartial y, fixamos x. A derivada de 4 x^5 y^4 em relação a y é 16 x^5 y^3 e de -6 x^2 y é -6 x^2. Assim:
partial fpartial y = 16 x^5 y^3 - 6 x^2

Passo 4

Agora vamos às derivadas de segunda ordem. Derivando partial fpartial x=20 x^4 y^4 - 12 x y em relação a x, obtemos:
partial^2 fpartial x^2 = 80 x^3 y^4 - 12 y

Passo 5

Derivando partial fpartial x em relação a y, temos:
partial^2 fpartial x partial y = 80 x^4 y^3 - 12 x

Passo 6

Derivando partial fpartial y=16 x^5 y^3 - 6 x^2 em relação a x, confirmamos:
partial^2 fpartial y partial x = 80 x^4 y^3 - 12 x

Passo 7

Por fim, derivando partial fpartial y em relação a y, resulta:
partial^2 fpartial y^2 = 48 x^5 y^2

Resposta

  • fx(x,y) = 20 x^4 y^4 - 12 x y
  • fy(x,y) = 16 x^5 y^3 - 6 x^2
  • fxx(x,y) = 80 x^3 y^4 - 12 y
  • fxy(x,y) = 80 x^4 y^3 - 12 x
  • fyx(x,y) = 80 x^4 y^3 - 12 x
  • fyy(x,y) = 48 x^5 y^2

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