Calcule todas as derivadas parciais até segunda ordem das funções:
;
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede: calcular todas as derivadas parciais até segunda ordem das funções dadas. Ou seja, para cada função calcular as derivadas parciais de primeira ordem
,
e as derivadas parciais de segunda ordem
,
,
(e
, que deve coincidir com
quando a função for suficientemente suave).
As funções fornecidas são:
-
. -
. (Aqui é necessário assumir para que seja bem definida e diferenciável em .)
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Temos três termos em
: , e . - Em
os dois primeiros termos são monômios polinomiais e o terceiro é , que precisa da identificação para derivar quando e são variáveis.
Passo 2
Relembre rápido das regras que vou usar (explicação didática, sem pular etapas):
- Regra da cadeia: se
e então . Aqui é a derivada de em relação a e é a derivada parcial de em relação a . - Regra do produto:
. - Derivadas usuais:
-
. -
. -
.
-
- Para
(com ) escrever . Usando isso: - derivada parcial em
(tratando constante): . - derivada parcial em
(tratando constante): . - Para derivar uma expressão como
em relação a ou uso produto e regra da cadeia conforme necessário.
- derivada parcial em
Vou aplicar essas regras termo a termo, mostrando cada aplicação.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais primeiras de
. Vou derivar cada termo separadamente e somar os resultados.
Termo 1:
. Pela regra da cadeia:
Termo 2:
. Pela cadeia:
Termo 3:
. Pela cadeia:
Somando os três termos obtenho a derivada parcial em
:
Passo 4
Cálculo de
, derivando cada termo de
em relação a
.
Termo 1:
:
Termo 2:
:
Termo 3:
:
Somando:
Passo 5
Cálculo de
(derivar
em relação a
). Reescrevo
e derivo termo a termo.
Relembrando:
Derivo cada parcela:
-
: produto .
Explicação rápida: derivada de
é
, mais
vezes derivada do expoente pelo fator
.
-
: é constante em relação a .
-
: produto de por .
Somando as três partes:
Passo 6
Cálculo de
(derivar
em relação a
). Parto novamente de
Derivo termo a termo em
:
-
: é constante; pela cadeia:
-
: produto .
-
: é constante; pela cadeia:
Somando:
Observação: por Clairaut (se as segundas derivadas forem contínuas) deve valer
. Nas próximas etapas poderíamos derivar
em
e confirmar que coincide com a expressão acima — faço essa verificação breve no passo seguinte para segurança.
Passo 7
Verificação rápida de
(derivar
em
) para checar coerência.
Recordando
. Derivando em
:
-
. -
: produto .
-
.
Somando, obtemos exatamente a expressão do passo anterior para
. Assim
, coerente.
Passo 8
Cálculo de
(derivar
em relação a
). Relembrando
Derivo termo a termo:
-
: produto.
-
: é constante, produto .
-
.
Somando:
Pronto — temos todas as derivadas até segunda ordem de
:
,
,
,
,
.
Passo 9
Agora passo para
. Primeiro calculo
.
Derivo termo a termo:
Termo
: tratando
como constante,
Termo
: derivada em
é
.
Termo
: para
uso
. Derivando em
(com
constante):
(Explicação curta:
.)
Somando:
Passo 10
Cálculo de
.
Termo
:
Termo
:
Termo
: derivada em
(com
constante) usando
:
Somando:
Passo 11
Cálculo de
(derivar
em
). Relembro
Derivo termo a termo:
-
-
: aqui é constante, e tem derivada .
Portanto:
Passo 12
Cálculo de
(derivar
em
).
Parto de
.
-
-
: produto em :
(Já usei que
.)
Somando:
Passo 13
Cálculo de
(derivar
em
). Relembro
Derivo termo a termo:
Somando:
Passo 14
Verificação rápida da simetria mista
. Derivando
em
:
De
:
- derivada do primeiro termo em
é , - do segundo é
, - do terceiro, usando produto/chain:
.
Mas. Assim:
o que coincide com o termo não polinomial em
. Logo
, consistente.