Calcule todas as derivadas parciais até segunda ordem das funções:
g(x, y)=e^{x^{2}-y^{2}}+\sin \left(x y^{2}\right)+\cos \left(x^{2}-y\right);
(d) h(x, y)=4 x^{3} y^{4}+y^{3}+x^{y}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular todas as derivadas parciais até segunda ordem das funções dadas. Ou seja, para cada função calcular as derivadas parciais de primeira ordem f_x, f_y e as derivadas parciais de segunda ordem f_{xx}, f_{xy}, f_{yy} (e f_{yx}, que deve coincidir com f_{xy} quando a função for suficientemente suave).
As funções fornecidas são:
  • g(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}+\sin\!\bigl(xy^{2}\bigr)+\cos\!\bigl(x^{2}-y\bigr).
  • h(x,y)=4x^{3}y^{4}+y^{3}+x^{y}. (Aqui é necessário assumir x>0 para que x^{y}=e^{y\ln x} seja bem definida e diferenciável em y.)
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Temos três termos em g: e^{x^{2}-y^{2}}, \sin(xy^{2}) e \cos(x^{2}-y).
  • Em h os dois primeiros termos são monômios polinomiais e o terceiro é x^{y}, que precisa da identificação x^{y}=e^{y\ln x} para derivar quando x e y são variáveis.

Passo 2

Relembre rápido das regras que vou usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • Regra da cadeia: se F(u) e u=u(x,y) então \dfrac{\partial}{\partial x}F(u)=F'(u)\,u_x. Aqui F'(u) é a derivada de F em relação a u e u_x é a derivada parcial de u em relação a x.
  • Regra do produto: \dfrac{\partial}{\partial x}(uv)=u_x v + u v_x.
  • Derivadas usuais:
    • \dfrac{d}{du}e^{u}=e^{u}.
    • \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u.
    • \dfrac{d}{du}\cos u=-\sin u.
  • Para x^{y} (com x>0) escrever x^{y}=e^{y\ln x}. Usando isso:
    • derivada parcial em x (tratando y constante): \dfrac{\partial}{\partial x}x^{y}=y x^{y-1}.
    • derivada parcial em y (tratando x constante): \dfrac{\partial}{\partial y}x^{y}=x^{y}\ln x.
    • Para derivar uma expressão como y x^{y-1} em relação a y ou x uso produto e regra da cadeia conforme necessário.
Vou aplicar essas regras termo a termo, mostrando cada aplicação.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais primeiras de g. Vou derivar cada termo separadamente e somar os resultados.
Termo 1: e^{x^{2}-y^{2}}. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}e^{x^{2}-y^{2}}=e^{x^{2}-y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr) =e^{x^{2}-y^{2}}\cdot 2x.
Termo 2: \sin(xy^{2}). Pela cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy^{2})=\cos(xy^{2})\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy^{2}) =\cos(xy^{2})\cdot y^{2}.
Termo 3: \cos(x^{2}-y). Pela cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\cos(x^{2}-y)=-\sin(x^{2}-y)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y) =-\sin(x^{2}-y)\cdot 2x.
Somando os três termos obtenho a derivada parcial em x:
\boxed{\,g_x(x,y)=2x e^{x^{2}-y^{2}}+y^{2}\cos(xy^{2})-2x\sin(x^{2}-y)\,}

Passo 4

Cálculo de g_y, derivando cada termo de g em relação a y.
Termo 1: e^{x^{2}-y^{2}}:
\frac{\partial}{\partial y}e^{x^{2}-y^{2}}=e^{x^{2}-y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2}) =e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y) = -2y e^{x^{2}-y^{2}}.
Termo 2: \sin(xy^{2}):
\frac{\partial}{\partial y}\sin(xy^{2})=\cos(xy^{2})\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}) =\cos(xy^{2})\cdot 2xy = 2xy\cos(xy^{2}).
Termo 3: \cos(x^{2}-y):
\frac{\partial}{\partial y}\cos(x^{2}-y)=-\sin(x^{2}-y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y) =-\sin(x^{2}-y)\cdot(-1)=\sin(x^{2}-y).
Somando:
\boxed{\,g_y(x,y)=-2y e^{x^{2}-y^{2}}+2xy\cos(xy^{2})+\sin(x^{2}-y)\,}

Passo 5

Cálculo de g_{xx} (derivar g_x em relação a x). Reescrevo g_x e derivo termo a termo.
Relembrando:
g_x=2x e^{x^{2}-y^{2}}+y^{2}\cos(xy^{2})-2x\sin(x^{2}-y).
Derivo cada parcela:
  1. \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(2x e^{x^{2}-y^{2}}\bigr): produto 2x\cdot e^{\cdot}.
\begin{aligned} &=2\cdot e^{x^{2}-y^{2}} + 2x\cdot e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(2x)\\\ &=(2+4x^{2})e^{x^{2}-y^{2}}. \end{aligned}
Explicação rápida: derivada de 2x é 2, mais 2x vezes derivada do expoente pelo fator e^{\cdot}.
  1. \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\cos(xy^{2})\bigr): y^{2} é constante em relação a x.
=y^{2}\cdot\bigl(-\sin(xy^{2})\bigr)\cdot (y^{2}) = -y^{4}\sin(xy^{2}).
  1. \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x\sin(x^{2}-y)\bigr): produto de -2x por \sin(\cdot).
\begin{aligned} &= -2\sin(x^{2}-y) + (-2x)\cdot\cos(x^{2}-y)\cdot(2x)\\\ &= -2\sin(x^{2}-y) -4x^{2}\cos(x^{2}-y). \end{aligned}
Somando as três partes:
\boxed{\,g_{xx}(x,y)=(2+4x^{2})e^{x^{2}-y^{2}}-y^{4}\sin(xy^{2})-2\sin(x^{2}-y)-4x^{2}\cos(x^{2}-y)\,}

Passo 6

Cálculo de g_{xy} (derivar g_x em relação a y). Parto novamente de
g_x=2x e^{x^{2}-y^{2}}+y^{2}\cos(xy^{2})-2x\sin(x^{2}-y).
Derivo termo a termo em y:
  1. \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2x e^{x^{2}-y^{2}}\bigr): 2x é constante; pela cadeia:
2x\cdot e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y) = -4xy e^{x^{2}-y^{2}}.
  1. \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\cos(xy^{2})\bigr): produto y^{2}\cdot\cos(\cdot).
\begin{aligned} &=2y\cos(xy^{2}) + y^{2}\cdot\bigl(-\sin(xy^{2})\bigr)\cdot(2xy)\\\ &=2y\cos(xy^{2}) -2xy^{3}\sin(xy^{2}). \end{aligned}
  1. \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x\sin(x^{2}-y)\bigr): -2x é constante; pela cadeia:
-2x\cdot\cos(x^{2}-y)\cdot(-1)=2x\cos(x^{2}-y).
Somando:
\boxed{\,g_{xy}(x,y)=-4xy e^{x^{2}-y^{2}}+2y\cos(xy^{2})-2xy^{3}\sin(xy^{2})+2x\cos(x^{2}-y)\,}
Observação: por Clairaut (se as segundas derivadas forem contínuas) deve valer g_{xy}=g_{yx}. Nas próximas etapas poderíamos derivar g_y em x e confirmar que coincide com a expressão acima — faço essa verificação breve no passo seguinte para segurança.

Passo 7

Verificação rápida de g_{yx} (derivar g_y em x) para checar coerência.
Recordando g_y=-2y e^{x^{2}-y^{2}}+2xy\cos(xy^{2})+\sin(x^{2}-y). Derivando em x:
  1. \dfrac{\partial}{\partial x}(-2y e^{x^{2}-y^{2}})=-2y\cdot e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(2x)=-4xy e^{x^{2}-y^{2}}.
  2. \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy\cos(xy^{2})): produto 2y x\cdot\cos(\cdot).
2y\cos(xy^{2}) + 2xy\cdot(-\sin(xy^{2}))\cdot(y^{2}) = 2y\cos(xy^{2}) -2xy^{3}\sin(xy^{2}).
  1. \dfrac{\partial}{\partial x}\sin(x^{2}-y)=\cos(x^{2}-y)\cdot 2x = 2x\cos(x^{2}-y).
Somando, obtemos exatamente a expressão do passo anterior para g_{xy}. Assim g_{yx}=g_{xy}, coerente.

Passo 8

Cálculo de g_{yy} (derivar g_y em relação a y). Relembrando
g_y=-2y e^{x^{2}-y^{2}}+2xy\cos(xy^{2})+\sin(x^{2}-y).
Derivo termo a termo:
  1. \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(-2y e^{x^{2}-y^{2}}\bigr): produto.
-2 e^{x^{2}-y^{2}} + (-2y)\cdot e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y) = -2 e^{x^{2}-y^{2}} + 4y^{2} e^{x^{2}-y^{2}} = (-2+4y^{2})e^{x^{2}-y^{2}}.
  1. \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy\cos(xy^{2})\bigr): 2x é constante, produto y\cos(\cdot).
2x\cos(xy^{2}) + 2x y\cdot\bigl(-\sin(xy^{2})\bigr)\cdot(2xy) =2x\cos(xy^{2}) -4x^{2}y^{2}\sin(xy^{2}).
  1. \dfrac{\partial}{\partial y}\sin(x^{2}-y)=\cos(x^{2}-y)\cdot(-1)=-\cos(x^{2}-y).
Somando:
\boxed{\,g_{yy}(x,y)=(-2+4y^{2})e^{x^{2}-y^{2}}+2x\cos(xy^{2})-4x^{2}y^{2}\sin(xy^{2})-\cos(x^{2}-y)\,}
Pronto — temos todas as derivadas até segunda ordem de g: g_x, g_y, g_{xx}, g_{xy}=g_{yx}, g_{yy}.

Passo 9

Agora passo para h(x,y)=4x^{3}y^{4}+y^{3}+x^{y}. Primeiro calculo h_x.
Derivo termo a termo:
Termo 4x^{3}y^{4}: tratando y como constante,
\frac{\partial}{\partial x}4x^{3}y^{4}=4\cdot 3x^{2}y^{4}=12x^{2}y^{4}.
Termo y^{3}: derivada em x é 0.
Termo x^{y}: para x>0 uso x^{y}=e^{y\ln x}. Derivando em x (com y constante):
\frac{\partial}{\partial x}x^{y}=y x^{y-1}.
(Explicação curta: \frac{d}{dx}e^{y\ln x}=e^{y\ln x}\cdot y\cdot\frac{1}{x}=x^{y}\cdot\frac{y}{x}=y x^{y-1}.)
Somando:
\boxed{\,h_x(x,y)=12x^{2}y^{4}+y x^{y-1}\,}

Passo 10

Cálculo de h_y.
Termo 4x^{3}y^{4}:
\frac{\partial}{\partial y}4x^{3}y^{4}=4x^{3}\cdot 4y^{3}=16x^{3}y^{3}.
Termo y^{3}:
\frac{\partial}{\partial y}y^{3}=3y^{2}.
Termo x^{y}: derivada em y (com x constante) usando x^{y}=e^{y\ln x}:
\frac{\partial}{\partial y}x^{y}=x^{y}\ln x.
Somando:
\boxed{\,h_y(x,y)=16x^{3}y^{3}+3y^{2}+x^{y}\ln x\,}

Passo 11

Cálculo de h_{xx} (derivar h_x em x). Relembro
h_x=12x^{2}y^{4}+y x^{y-1}.
Derivo termo a termo:
  1. \dfrac{\partial}{\partial x}12x^{2}y^{4}=24x y^{4}.
  2. \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(y x^{y-1}\bigr): aqui y é constante, e x^{y-1} tem derivada (y-1)x^{y-2}.
y\cdot (y-1)x^{y-2}=y(y-1)x^{y-2}.
Portanto:
\boxed{\,h_{xx}(x,y)=24x y^{4}+y(y-1)x^{y-2}\,}

Passo 12

Cálculo de h_{xy} (derivar h_x em y).
Parto de h_x=12x^{2}y^{4}+y x^{y-1}.
  1. \dfrac{\partial}{\partial y}12x^{2}y^{4}=12x^{2}\cdot 4y^{3}=48x^{2}y^{3}.
  2. \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(y x^{y-1}\bigr): produto em y:
\begin{aligned} &= x^{y-1} + y\cdot\frac{\partial}{\partial y}x^{y-1}\\\ &= x^{y-1} + y\cdot x^{y-1}\ln x\\\ &= x^{y-1}\bigl(1+y\ln x\bigr). \end{aligned}
(Já usei que \dfrac{\partial}{\partial y}x^{y-1}=x^{y-1}\ln x.)
Somando:
\boxed{\,h_{xy}(x,y)=48x^{2}y^{3}+x^{y-1}\bigl(1+y\ln x\bigr)\,}

Passo 13

Cálculo de h_{yy} (derivar h_y em y). Relembro
h_y=16x^{3}y^{3}+3y^{2}+x^{y}\ln x.
Derivo termo a termo:
  1. \dfrac{\partial}{\partial y}16x^{3}y^{3}=16x^{3}\cdot 3y^{2}=48x^{3}y^{2}.
  2. \dfrac{\partial}{\partial y}3y^{2}=6y.
  3. \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{y}\ln x\bigr)=\dfrac{\partial}{\partial y}x^{y}\cdot\ln x = x^{y}\ln x\cdot\ln x = x^{y}(\ln x)^{2}.
Somando:
\boxed{\,h_{yy}(x,y)=48x^{3}y^{2}+6y+x^{y}(\ln x)^{2}\,}

Passo 14

Verificação rápida da simetria mista h_{xy}=h_{yx}. Derivando h_y em x:
De h_y=16x^{3}y^{3}+3y^{2}+x^{y}\ln x:
  • derivada do primeiro termo em x é 48x^{2}y^{3},
  • do segundo é 0,
  • do terceiro, usando produto/chain: \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{y}\ln x)=\dfrac{\partial}{\partial x}x^{y}\cdot\ln x + x^{y}\cdot\dfrac{1}{x}.
    Mas \dfrac{\partial}{\partial x}x^{y}=y x^{y-1}. Assim:
y x^{y-1}\ln x + x^{y-1} = x^{y-1}\bigl(1+y\ln x\bigr),
o que coincide com o termo não polinomial em h_{xy}. Logo h_{xy}=h_{yx}, consistente.

Resposta

g_x(x,y)=2x e^{x^{2}-y^{2}}+y^{2}\cos(xy^{2})-2x\sin(x^{2}-y)
g_y(x,y)=-2y e^{x^{2}-y^{2}}+2xy\cos(xy^{2})+\sin(x^{2}-y)
g_{xx}(x,y)=(2+4x^{2})e^{x^{2}-y^{2}}-y^{4}\sin(xy^{2})-2\sin(x^{2}-y)-4x^{2}\cos(x^{2}-y)
g_{xy}(x,y)=-4xy e^{x^{2}-y^{2}}+2y\cos(xy^{2})-2xy^{3}\sin(xy^{2})+2x\cos(x^{2}-y)
g_{yy}(x,y)=(-2+4y^{2})e^{x^{2}-y^{2}}+2x\cos(xy^{2})-4x^{2}y^{2}\sin(xy^{2})-\cos(x^{2}-y)
h_x(x,y)=12x^{2}y^{4}+y x^{y-1}
h_y(x,y)=16x^{3}y^{3}+3y^{2}+x^{y}\ln x
h_{xx}(x,y)=24x y^{4}+y(y-1)x^{y-2}
h_{xy}(x,y)=48x^{2}y^{3}+x^{y-1}\bigl(1+y\ln x\bigr)
h_{yy}(x,y)=48x^{3}y^{2}+6y+x^{y}(\ln x)^{2}

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