Calcule todas derivadas parciais das funções a seguir.
f(x, y)=\frac{x \operatorname{sen} y}{y \cos x};

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y) = \frac{x\sin y}{y\cos x}\,.
O conteúdo necessário é derivada parcial e, mais especificamente, aplicação da regra do quociente, tratando uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra.

Passo 2

Vamos achar \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tomando y como constante. Definimos
N(x,y) = x\sin y, \quad D(x,y) = y\cos x.
Então
\frac{\partial N}{\partial x} = \sin y, \qquad \frac{\partial D}{\partial x} = -\,y\sin x.
Pela regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\frac{\partial N}{\partial x}\,D - N\,\frac{\partial D}{\partial x}}{D^2} = \frac{\sin y\,(y\cos x) - (x\sin y)(-y\sin x)}{(y\cos x)^2}.
No numerador temos
y\sin y\cos x + x\,y\sin y\sin x = y\sin y\,(\cos x + x\sin x),
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\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y\sin y\,(\cos x + x\sin x)}{y^2\cos^2 x} = \frac{\sin y\,(\cos x + x\sin x)}{y\cos^2 x}.

Passo 3

Agora \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratando x como constante. Usamos
\frac{\partial N}{\partial y} = x\cos y, \qquad \frac{\partial D}{\partial y} = \cos x.
Pela regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(x\cos y)(y\cos x) - (x\sin y)(\cos x)}{(y\cos x)^2} = \frac{x\cos x\,(y\cos y - \sin y)}{y^2\cos^2 x} = \frac{x\,(y\cos y - \sin y)}{y^2\cos x}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\sin y\,(\cos x + x\sin x)}{y\cos^2 x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x\,(y\cos y - \sin y)}{y^2\cos x}.

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