Calcule todas derivadas parciais das funções a seguir.
f(x, y, z)=\ln (x / y)-y e^{x z};

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais da função
f(x,y,z)=\ln\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)-y\,e^{x z}.
Para isso vamos usar:
– a propriedade \ln(x/y)=\ln x-\ln y e sua derivada;
– a regra do produto;
– a regra da cadeia aplicada a e^{x z}.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}:
Da parte \ln(x/y)=\ln x-\ln y vem
\frac{\partial}{\partial x}[\ln(x/y)] =\frac{\partial}{\partial x}(\ln x)-\frac{\partial}{\partial x}(\ln y) =\frac{1}{x}-0 =\frac{1}{x}.
Da parte -y\,e^{x z}, tratando y como constante e usando a cadeia em e^{x z}:
\frac{\partial}{\partial x}[-y\,e^{x z}] =-y\cdot\bigl(z\,e^{x z}\bigr) =-y\,z\,e^{x z}.
Somando os resultados,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{x}-y\,z\,e^{x z}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}:
Da parte \ln(x/y)=\ln x-\ln y vem
\frac{\partial}{\partial y}[\ln(x/y)] =0-\frac{1}{y} =-\frac{1}{y}.
Da parte -y\,e^{x z}, agora e^{x z} é constante em relação a y, então
\frac{\partial}{\partial y}[-y\,e^{x z}] =-1\cdot e^{x z} =-e^{x z}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{1}{y}-e^{x z}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}:
A parte \ln(x/y) não depende de z, logo sua derivada é zero.
Na parte -y\,e^{x z}, y é constante e aplicamos a cadeia em e^{x z}:
\frac{\partial}{\partial z}[-y\,e^{x z}] =-y\cdot\bigl(x\,e^{x z}\bigr) =-x\,y\,e^{x z}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial z} =-x\,y\,e^{x z}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{x}-y\,z\,e^{x z}
\frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{1}{y}-e^{x z}
\frac{\partial f}{\partial z} =-x\,y\,e^{x z}

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