Calcule todas derivadas parciais das funções a seguir.
f(x, y, z)=z \operatorname{sen}(x-y);

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=z\,\sin(x-y)
e pede para calcular as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z}. Vamos usar diferenciação parcial, aplicando a regra do produto (quando aparecer z multiplicando) e a regra da cadeia (para derivar \sin(x-y)).

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y e z como constantes. Como
f(x,y,z)=z\cdot\sin(x-y),
aplicamos a regra do produto (onde z é constante) e a regra da cadeia em \sin(x-y):
\frac{\partial f}{\partial x} = z\cdot\cos(x-y)\cdot\frac{d}{dx}(x-y) = z\cos(x-y)\cdot1 = z\cos(x-y).

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x e z como constantes. Novamente temos produto z\cdot\sin(x-y) e cadeia em \sin(x-y):
\frac{\partial f}{\partial y} = z\cdot\cos(x-y)\cdot\frac{d}{dy}(x-y) = z\cos(x-y)\cdot(-1) = -\,z\cos(x-y).

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} tratamos x e y como constantes. Aqui \sin(x-y) é constante, então é só derivar z:
\frac{\partial f}{\partial z} =\sin(x-y).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=z\cos(x-y),\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-\,z\cos(x-y),\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=\sin(x-y).

Exercícios relacionados