Calcule todas derivadas parciais das funções a seguir.
f(x, y)=\sqrt{x^{2}-3 y};

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais da função
f(x,y)=\sqrt{x^{2}-3y}.
O conteúdo aqui é derivada parcial e regra da cadeia: tratamos cada variável isoladamente, olhando a dependência de f em relação a x ou a y.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial x}, fixamos y como constante e escrevemos
f(x,y) = (x^{2}-3y)^{\tfrac12}.
Aplicando a regra da cadeia: a derivada de u^{1/2} em relação a u é \tfrac{1}{2}u^{-1/2}, e \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-3y)=2x. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2}(x^{2}-3y)^{-\tfrac12}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}-3y}}.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y}, fixamos x e tratamos u=x^{2}-3y. Temos \frac{\partial}{\partial y}u=-3. Assim, pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{2}(x^{2}-3y)^{-\tfrac12}\cdot(-3) =-\frac{3}{2\sqrt{x^{2}-3y}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-3y}}, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{3}{2\sqrt{x^{2}-3y}}.

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